Нормальное функционирование (работоспособность) передач, прежде всего, определяется нагрузкой на механизм, характеризуемой силовыми параметрами, которые нагружают ее при эксплуатации. Нагрузка на элементы машин и механизмов, в том числе и зубчатые передачи, как отмечалось ранее, прежде всего формируется статическим и динамическим сопротивлением движению рабочего органа при его функционировании, приведенным к анализируемым элементам. Первичный силовой анализ проводится при установившемся движении (). Задача силового анализа механических передач, в том числе зацеплением, заключается в определении действующих в контактирующих элементах сил. Исходными данными для выполнения задачи являются крутящие моменты на шестерне и колесе , либо на одном из них, вид передачи и ее геометрические параметры (диаметры делительных окружностей ; угол зацепления ; угол наклона зубьев и т.д.). Значения Т 1 и Т 2 заданы в техническом задании на проектирование передачи в целом, а геометрические параметры устанавливаются в проектных расчетах на предыдущих этапах процесса проектирования, а в проверочных – также заданы в ТЗ (рис.2.4а ).

Основные положения модели расчетной:

1. Силы взаимодействия зубьев как векторные величины характеризуются точками приложения, направлением и модулем. При выборе точки приложения этих сил руководствуются следующим. Из теории работы зубчатых механизмов известно, что при вращении колес линия контакта зубьев перемещается от головки зуба до ее ножки, образуя рабочую (активную) поверхность (рис.4.2б), и сила взаимодействия по высоте зуба в силу изменения радиуса ее приложения будет переменной. В силовых расчетах зубчатых передач обычно пренебрегают изменением плеча этой силы и считают точкой приложения полюс зацепления.

2. Построение модели силового анализа любого технического устройства, в том числе обсуждаемого, начинают с выявления физической природы сил, возникающих в нем при эксплуатации.

2.1. Передача движения с ведущего элемента на ведомый в передачах зацеплением осуществляется давлением зубьев шестерни и колеса , по соответствующим линиям контакта. В силовых моделях полагают удельное нормальное давление равномерно распределенным по длине линии контакта (ширине зуба – b) передач зацеплением и поэтому его заменяют равнодействующей , приложенной в среднем по ширине зуба сечении (рис.2.4б ). Для контактирующих неподвижных тел, как известно, эта сила направлена по нормали к поверхностям контакта.

2.2. В связи с наличием относительного движения (перекатывания) зубьев, в зацеплении будет иметь место сила трения, величина которой (рис.2.4б). При коэффициенте трения качения данной силой по ее малости пренебрегают. В этом случае суммарную силу взаимодействия зубьев, как и силу давления, можно направить по нормали и принять равной .

2.3. В силу неизбежных при изготовлении зубчатых колес ошибок в шаге при постоянной мгновенной угловой скорости ведущего зубчатого колеса , скорость , даже при установившемся движении, что приводит к возникновению в зацеплении динамического момента и соответствующей силы (рис.2.4в ):

,

где - приведенный момент инерции. В общепринятой методике первичного силового анализа динамическую силу опускают, а учитывают ее непосредственно в прочностных расчетах зубчатых передач (см. ниже).

Расчетная схема для определения модуля силы взаимодействия и ее составляющих строится на основе предыдущих положений модели силового анализа (рис. 2.4). При этом силу взаимодействия для удобства дальнейших расчетов принято раскладывать на составляющие: тангенциальную – , радиальную – и осевую – . Определение составляющих силы взаимодействия при заданных крутящих моментах естественно начать с тангенциальных составляющих (рис 2.5а ).

Из условий равновесия шестерни и колеса (рис 2.5а ) можно записать:

Отсюда, как для прямозубой, так и косозубой передач, при пренебрежении потерями в зацеплении:

В соответствии с условиями равновесия окружные составляющие направляют так, чтобы они уравновешивали моменты (движущий на шестерне и момент сопротивления на колесе).

Для радиальных составляющих в цилиндрических передачах, как и для тангенциальных, очевидно соотношение . Величина этой составляющей в прямозубой передаче (рис 2.5a ):

В косозубой передаче радиальную составляющую в соответствии с (рис 2.5в ) можно записать в следующем виде.

Лабораторная работа №24

Кинематический анализ зубчатыхмеханизмов

Цель работы: выработка навыков в составлении кинематических схем зубчатых механизмов и определении их передаточных отношений.

1. Определение передаточного отношения аналитическим путем

1.1. 3убчатые механизмы с неподвижными осями

Передаточным отношением называется отношение угловой скорости звена " k " к угловой скорости звена "":

(см. ; ; ).

Для плоского механизма, состоящего из двух зубчатых колес и стойки, имеем:

где n – об /мин , частота вращения;

z – число зубьев;

– радиус начальной окружности.

Условно поставленный знак "минус" показывает, что зацепляющиеся колеса вращаются в разные стороны при внешнем касании (рис.1, а ), а знак "плюс" показывает, что колеса вращаются в одном направлении при внутреннем касании (рис.1.1, б ).

а)б)

Рис.1

Осуществление в одноступенчатых передачах больших передаточных отношений (примерно > 8) становится нецелесообразным, так как диаметр одного из колес получается очень большим. При применяют двухступенчатые зубчатые передачи, при > 40 – трехступенчатые.

Передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению частных передаточных отношений отдельных ступеней (простых механизмов).

Для ступенчатого механизма, изображенного на рис.2, передаточное отношение определяется по формуле:

Рис.2

Вследствие параллельности валов I и V найденному передаточному отношению, как и в случае одноступенчатой передачи, приписываем знак. Его определяем по правилу стрелок. В нашем случае величине должен быть приписан знак "минус".

Пример 1. Задана четырехступенчатая передача (рис.3), представляющая привод от электродвигателя к станку. Числа зубьев колес: z 1 = 18, z 2 = 27, z 3 = 12, z 4 = 24, z 5 = 19, z 6 = 57.

Рис.3

Определить частоту вращения ведомого вела V , если частота вращения вала двигателя = 1440 об/мин.

Передаточное отношение:

об/мин.

Пример 2.

Рис.4

Колеса 1 и 3 вращаются в разные стороны ("правило стрелок").

1.2. Планетарные и дифференциальные зубчатые механизмы

Во всех рассмотренных выше зубчатых механизмах валы зубчатых колес вращались в неподвижных подшипниках, т.е. оси всех колес не меняли своего положения в пространстве. Существуют многоступенчатые зубчатые передачи, оси отдельных колес которых являются подвижными. Такие зубчатые механизмы с одной степенью свободы (W = 1) называется планетарными механизмами, а с числом степеней свободы два и более () – дифференциальными .

Аналитический метод исследования кинематики таких механизмов основывается на способе обращения движения (см. ; ; ). Всем звеньям механизма сообщается дополнительная угловая скорость, которая равна по величине, но противоположна по направлению угловой скорости водила . В результате водило оказывается неподвижным, а дифференциальный (планетарный) механизм превращается в зубчатую передачу с неподвижными осями колес (обращенный механизм).

Пример 3. Определить число оборотов водила () и сателлита (), а также направление их вращения, если ведущий вал (колесо 1) вращается с частотой = 60 об/мин. Числа зубьев z 1 = z 3 = 20, z 2 = 40.

Рис.1.5

Модули всех колес одинаковы. Колеса изготовлены без смещения исходного контура. Колесо 4 неподвижно. Колесо 3 обкатывается по колесу 4.

Число степеней подвижности механизма:

где n – число подвижных звеньев;

– число кинематических пар пятого класса,

– число кинематических пар четвертого класса.

Рассматриваемый механизм – планетарный.

Неизвестное число зубьев (z 4 ) определим из условия соосности:

где – радиусы начальных окружностей, i = 1,…4.

Так как колеса изготовлены без смещения исходного контура, то начальные окружности совпадают с делительными :

Поскольку согласно условию модули всех колес одинаковы, то:

Для определения передаточного отношения применим метод обращения движения. Пусть в рассматриваемом механизме подвижные звенья вращаются с угловыми скоростями . Очевидно, что относительное движение звеньев не изменится, если сообщить всему механизму дополнительное вращение вокруг центральной оси с частотой вращения – n н (то есть с частотой, равной по величине, но противоположной по направлению вращению водила). Тогда скорости соответственно изменятся и примут значения:

Звено	Фактическая частота вращения	Частота вращения после сообщения механизму дополнительного вращения
Колесо 1	n 1
Колесо 4	n 4
Водило н	n н

Таким образом, при сообщении всему механизму обращенного движения с частотой – n н водило будет неподвижным, а планетарный механизм превратится в обыкновенный зубчатый (с неподвижными осями). Передаточное отношение последнего:

или, переходя к угловым скоростям ():

Здесь – фактические угловые скорости, а – угловые скорости в обращенном движении, т.е. угловые скорости обыкновенного зубчатого механизма, полученного из планетарного.

Для обыкновенного зубчатого механизма:

т.к. фактически n 4 = 0.

Знак "плюс" показывает, что входное звено 1 и водило вращаются в одном направлении:

Для определения частоты вращения сателлита:

n 2 = -210 об/мин.

Знак "минус" показывает, что блок сателлитов 2 и 3 и водило вращаются в противоположные стороны.

2. Порядок выполнения работы

В настоящей работе необходимо выполнить кинематический анализ трех зубчатых механизмов, в том числе одного планетарного или дифференциального. Для каждого зубчатого механизма составляется кинематическая схема и определяется передаточное отношение сначала в общем виде, а затем подсчитывается его значение.

Кинематическая схема должна быть составлена грамотно с соблюдением условностей, принятых при составлении кинематических схем (ГОСТ 2.703-74, ГОСТ 2.770-68).

После представления отчета о работе каждый студент должен решить контрольную задачу.

Форма протокола

"КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ"

Студент Группа Руководитель

1. Номер механизма _____

Кинематическая схема

Общее передаточное отношение механизма:

а) расчетное значение;

б) полученное экспериментально.

2. Номер механизма _____

Кинематическая схема и т.д.

Работу выполнил Работу принял

Контрольные задачи

Вариант задачи назначается преподавателем.

Недостающие числа зубьев колес определить из условия соосности, считая, что все зубчатые колеса механизма имеют один и тот же модуль и угол зацепления.

Задача № 1 Определить n 6	№ вар.	z 1	z 2	z 3	z 4	z 5	n 1

Задача № 2 Определить n 5	№ вар.	z 1	z 2	z 3	z 4	z 5	n 1
							1053

Задача № 3 Определить n н	№ вар.	z 1	z 2	z 2"	z 3	z 3"	z 4	n 1

Задача № 4 Определить n н	№ вар.	z 1	z 2	z 2"	z 3	z 4"	z 5	n 1 = n 5

Задача № 5 Определить n 6

№ вар.

z 1

z 2

z 2"

z 3"

Целью работы является приобретение умения определять передаточное отношение зубчатых механизмов и абсолютные угловые скорости их звеньев.

6.1. Основные сведения из теории

Зубчатые механизмы в большинстве своем служат для передачи вращательного движения от одного вала к другому, при этом может изменяться величина и направление угловой скорости. Различают зубчатые механизмы с неподвижными осями колес (рис. 6.1 и 6.2) и механизмы, имеющие в своем составе зубчатые колеса (сателлиты), оси которых движутся в пространстве (рис. 6.3,а и 6.3,б).

В механизме зубчатые колеса, например j и k , вращаются в общем случае с разными угловыми скоростями ω j и ω k соответственно. Отношение этих угловых скоростей называется передаточным отношением и обозначается буквой i с соответствующими индексами. Таким образом, величины

являются передаточными отношениями одной и той же передачи, только в первом случае входным звеном считается колесо j, а выходным – колесо k, а во втором случае наоборот. Из выражения (6.1) следует, что

В простейших зубчатых механизмах, состоящих из двух зубчатых колес 1 и 2 , оси которых неподвижны (рис. 6.1), передаточное отношение можно выразить не только через отношение угловых скоростей, но и через отношение их чисел зубьев. Действительно, в полюсе Р имеют место следующие соотношения:

где – начальные диаметры колес 1 и 2 ; – числа зубьев колес 1 и 2 .

Таким образом, для простейшего зубчатого механизма с цилиндрическими зубчатыми колесами, оси которых неподвижны, можно записать

Знак «+» в формуле (6.3) принято ставить в том случае, когда угловые скорости колес одного направления (внутреннее зацепление, рис. 6.1,б).

В тех случаях, когда необходимо передать движение между валами, расположенными далеко друг от друга, и обеспечить большое передаточное отношение, используют сложные (многоступенчатые) зубчатые механизмы. На рис. 6.2 дан пример многоступенчатого механизма, содержащего зубчатые колеса с неподвижными осями. Общее передаточное отношение такого механизма равно произведению передаточных отношений всех зацепляющихся пар колес

Зубчатые механизмы, изображенные на рис 6.3, содержат колесо 2 (сателлит), ось которого перемещается в пространстве с помощью звена Н , называемого водилом, а также колеса 1 и 3 (рис. 6.3,а), вращающиеся вокруг неподвижной центральной оси и называемые центральными. В механизме на рис. 6.3,б одно из центральных колес (колесо 3 ) – неподвижно.

Если степень подвижности W такого механизма равна единице (рис. 6.3,б), то он называется планетарным, если двум и более – дифференциальным.

Передаточное отношение механизма можно определить с помощью метода обращения движения. Суть его заключается в том, что всем звеньям механизма мысленно дается дополнительное вращение с угловой скоростью , равной по величине угловой скорости водила в направлении, противоположном вращению водила. Если обозначить абсолютные угловые скорости (то есть скорости относительно неподвижной системы координат) звеньев реального механизма с сателлитами на рис. 6.3,а через , , , (нижние индексы соответствуют номеру звеньев), то в обращенном движении те же звенья будут иметь новые угловые скорости (обозначим их с верхним индексом Н):

Тогда водило и оси сателлитов становятся как бы неподвижными и получается так называемый обращенный механизм, представляющий собой многоступенчатый механизм с неподвижными осями колес (рис. 6.3,в).

Передаточное отношение от первого звена к третьему для обращенного механизма запишется в следующем виде

Формула (6.6) называется формулой Виллиса. Здесь – передаточное отношение простой передачи при остановленном водиле, равное

Задаваясь двумя скоростями по формуле (6.6) можно определить третью скорость. Заметим, что формулу Виллиса можно записать для двух любых звеньев. Например, по формуле

Расчёты в данном разделе будем выполнять в соответствии с методикой, изложенной в , на основании следующих исходных данных:

Z 2 =57 - число зубьев второго колеса

Z 3 =58 - число зубьев третьего зубчатого колеса

Z 4 =20 - число зубьев четвёртого зубчатого колеса

Z 5 =95 - число зубьев пятого зубчатого колеса

Z 6 =22 - число зубьев шестого зубчатого колеса

щ 1 =2с -1 - угловая скорость первого зубчатого колеса

Рассмотрим устройство данного зубчатого механизма.

Определим количество ступеней в механизме и дадим их характеристику. Пятое и шестое колесо образуют простейший ряд ступень - плоский зубчатый механизм с внутренним зацеплением. Вторая ступень, состоящая из 1,2,3,4 зубчатого колеса и рычага H - водила, является планетарным рядом с двухрядным сателлитом с двумя внешними зацеплениями.

Цель кинематического анализа.

Целью кинематического анализа является определение передаточных отношений каждой ступени и всего механизма в целом, а так же угловых скоростей отдельных указанных звеньев.

Определим число зубьев Z 1 .

Определим недостающее число зубьев планетарного механизма Z 1 . Для этого используем условие соосности центральных звеньев. Укажем межосевое расстояние между центральной осью и осью вращения сателлитов.

a=R 1 +R 2 - условие соосности центрального звена.

Z 1 =Z 3 +Z 4 -Z 2

Z 1 =58+20-57=21

Изобразим схему зубчатого механизма в масштабе.

µ z =95/95=1 1/мм

Определим размеры отрезком с помощью которых зубчатые колёса будут изображаться на колесе.

L Z5 =Z k /µ z =95/1=95мм

Кинематический анализ зубчатого механизма графическим способом.

Для выполнения анализа по данному способу необходимо выполнить кинематическую схему механизма. Кинематический анализ начинаем со входного звена.

V A =щ 1 *R A =21м/с

V В =щ 1 *R В =58м/с

Выберем масштаб построения плана линейных скоростей зубчатого механизма.

µ V =V A /(AO)=21/21=1(м/с)/мм

Для входного звена строим план линейных скоростей. Для построения плана достаточно знать скорости двух точек, так как зависимость линейная. Проецируем на полюсную линию точки, скорости которых известны. От проекции точек откладываем перпендикулярно полюсные линии в масштабе векторы линейных скоростей указанных точек. Переходим к входному звену, следующим за входным. На втором звене находим две точки, скорости которых известны. Проецируем эти точки на полюсную линию. Для найденных точек откладываем известные векторы линейных скоростей. По двум известным точкам строим план линейных скоростей. На основании построенного плана линейных скоростей изобразим диаграмму угловых скоростей звеньев. Через точку Р проводим прямые линии параллельные законам распределения линейных скоростей на плане линейных скоростей. Отрезки на лучевой диаграмме с началом в точке О и с концом в точке соответствующего номера изображают угловые скорости звеньев, так как угловая скорость входного звена известна, то можно определить масштабный коэффициент построения диаграммы.

µ щ =щ 1 /О 1 =2/1=2

Зная угловые скорости звеньев, определим передаточные отношения каждой ступени механизма и всего механизма в целом.

Кинематический анализ зубчатого механизма аналитическим способом.

Так как механизм состоит из двух ступеней, то его общее передаточное отношение можно определить как произведение передаточных отношений всех его ступеней. Вначале определим передаточное отношение простейшей зубчатой ступени.

i 56 =Z 6 /Z 5 =22/95=0,23

Рассмотрим планетарный ряд. Сложность кинематического анализа планетарного механизма состоит в том, что сателлиты совершают сложные движения и поэтому имеют угловую скорость переносного движения и относительную угловую относительно водила. Для возможности решения задачи используют принцип остановки водило. На принципе остановки водило основан метод Виллиса, суть которого заключается в следующем. Планетарный механизм мысленно заменяется обращенным механизмом.

Обобщенный механизм строится следующим образом:

1) водило считается неподвижным,

2) так как водило неподвижно, то из угловых скоростей всех звеньев вычитается угловая скорость водило,

3) для каждого зацепления можно записать формулу передаточного отношения через число зубьев,

4) с помощью математических преобразований от обращенного механизма можно перейти к планетарному механизму - исходному, и определить передаточные отношения уже для планетарного механизма.

Составим таблицу. Таблица будет содержать три колонки: 1) номер деталей, из которых состоит планетарный механизм, 2) угловые скорости звеньев в обычном движении, 3) угловые скорости звена при остановленном водило.

i 12 =(щ 2 -щ H)/(щ 1 -щ H)=-2,7

i 34 =(щ 2 -щ H)/(-щ H)=-0,34

щ 2 =щ 3 =3,06

щ 1 H =2-2,28=-0,28

щ 2 H =3,06-2,28=0,78

щ 3 H =3,06-2,28=0,78

щ 4 H =0-2,28=-2,28

Определим общее передаточное отношение всего механизма