Геоид точная форма. Что такое геоид? Кто изучал геоиды

Землю в первом приближении можно считать шаром. Во втором приближении Землю принимают за эллипсоид вращения; в некоторых исследованиях ее считают двухосным эллипсоидом. Геоид- тело принятое за теоретическую фигуру Земли, ограниченное поверхностью океанов в их спокойном состоянии, продолженной и под материками, Из-за неравномерности распределения масс в земной коре геоид имеет неправильную геометрическую форму, и его поверхность нельзя выразить математически, что необходимо для решения геодезических задач. При решении геодезических задач геоид заменяют близкими к нему геометрически правильными поверхностями. Так, для приближенных вычислений Землю принимают за шар с радиусом 6371 км. Ближе к форме геоида подходит эллипсоид – фигура, получаемая вращением эллипса (рис. 2.1) вокруг его малой оси. Размеры земного эллипсоида характеризуют следующими основными параметрами: a  большая полуось, b  малая полуось,   полярное сжатие и e – первый эксцентриситет меридианного эллипса, где и.

Различают общеземной эллипсоид и референц-эллипсоид.

Центр общеземного эллипсоида помещают в центре масс Земли, ось вращения совмещают со средней осью вращения Земли, а размеры принимают такие, чтобы обеспечить наибольшую близость поверхности эллипсоида к поверхности геоида. Общеземной эллипсоид используют при решении глобальных геодезических задач, и в частности, при обработке спутниковых измерений. В настоящее время широко пользуются двумя общеземными эллипсоидами: ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 г, Россия) и WGS-84 (Мировая геодезическая система 1984 г, США).

Референц-эллипсоид – эллипсоид, принятый для геодезических работ в конкретной стране. С референц-эллипсоидом связана принятая в стране система координат. Параметры референц-эллипсоида подбираются под условием наилучшей аппроксимации данной части поверхности Земли. При этом совмещения центров эллипсоида и Земли не добиваются.

В России с 1946 г. в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского с параметрами: а = 6 378 245 м, a = 1/ 298,3.

2.Системы координат в геодезии. Абсолютные и относительные высоты .

Системы координат, применяемые в геодезии

Для определения положения точек в геодезии применяют пространственные прямоугольные, геодезические и плоские прямоугольные координаты.

Пространственные прямоугольные координаты. Начало системы координат расположено в центре O земного эллипсоида (рис. 2.2).

Ось Z направлена по оси вращения эллипсоида к северу. ОсьХ лежит в пересечении плоскости экватора с начальнымгринвичским меридианом. ОсьY направлена перпендикулярно осямZ иX на восток.

Геодезические координаты. Геодезическими координатами точки являются ее широта, долгота и высота (рис. 2.2).

Геодезической широтой точки М называется уголВ , образованный нормалью к поверхности эллипсоида, проходящей через данную точку, и плоскостью экватора.

Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0до 90и называется северной или южной. Северную широту считают положительной, а южнуюотрицательной.

Плоскости сечения эллипсоида, проходящие через ось OZ , называютсягеодезическими меридианами .

Геодезической долготой точкиМ называется двугранный уголL , образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического меридиана и геодезического меридиана данной точки.

Долготу отсчитывают от начального меридиана в пределах от 0до 360на восток, или от 0до 180на восток (положительные) и от 0до 180на запад (отрицательные).

Геодезической высотой точки М является ее высотаН над поверхностью земного эллипсоида.

Геодезические координаты с пространственными прямоугольными координатами связаны формулами

X = (N + H ) cosB cosL , Y = (N+H ) cosB sinL , Z = [(1  e 2 ) N+H ] sinB ,

где e первый эксцентриситет меридианного эллипса иN  радиус кривизны первого вертикала. При этомN = a / (1e 2 sin 2 B ) 1/2 . Геодезические и пространственные прямоугольные координаты точек определяют с помощью спутниковых измерений, а также путем их привязки геодезическими измерениями к точкам с известными координатами. Отметим, что наряду с геодезическими существуют еще астрономические широта и долгота.Астрономическая широта этоугол, составленный отвесной линией в данной точке с плоскостью экватора.Астрономическая долгота – угол между плоскостями Гринвичского меридиана и проходящего через отвесную линию в данной точке астрономического меридиана. Астрономические координаты определяют на местности из астрономических наблюдений.Астрономические координаты отличаются от геодезических потому, что направления отвесных линий не совпадают с направлениями нормалей к поверхности эллипсоида. Угол между направлением нормали к поверхности эллипсоида и отвесной линией в данной точке земной поверхности называется уклонением отвесной линии .

Обобщением геодезических и астрономических координат является термин – географические координаты .

Плоские прямоугольные координаты. Для решения задач инженерной геодезии от пространственных и геодезических координат переходят к более простым – плоским координатам, позволяющим изображать местность на плоскости и определять положение точек двумя координатами х и у .

Поскольку выпуклую поверхность Земли изобразить на плоскости без искажений нельзя, введение плоских координат возможно только на ограниченных участках, где искажения так малы, что ими можно пренебречь. В России принята система прямоугольных координат, основой которой является равноугольная поперечно–цилиндрическая проекция Гаусса. Поверхность эллипсоида изображается на плоскости по частям, называемым зонами. Зоны представляют собой сферические двуугольники, ограниченные меридианами, и простирающиеся от северного полюса до южного (рис. 2.3). Размер зоны по долготе равен 6. Центральный меридиан каждой зоны называется осевым. Нумерация зон идет от Гринвича к востоку.

Долгота осевого меридиана зоны с номером N равна:

 0 = 6 N  3 .

Осевой меридиан зоны и экватор изображаются на плоскости прямыми линиями (рис. 2.4). Осевой меридиан принимают за ось абсцисс x , а экватор  за ось ординат y . Их пересечение (точка O ) служит началом координат данной зоны.

Чтобы избежать отрицательных значений ординат, координаты пересечения принимают равными x 0 = 0, y 0 = 500 км, что равносильно смещению оси х к западу на 500 км.

Чтобы по прямоугольным координатам точки можно было судить, в какой зоне она расположена, к ординате y слева приписывают номер координатной зоны.

Пусть например, координаты точки А имеют вид:

x А = 6 276 427 м,y А = 12 428 566 м

Эти координаты указывают на то, что точка А находится на расстоянии 6276427 м от экватора, в западной части (y  500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000  428566 = 71434 м от осевого меридиана. Для пространственных прямоугольных, геодезических и плоских прямоугольных координат в России принята единая система координат СК-95, закрепленная на местности пунктами государственной геодезической сети и построенная по спутниковым и наземным измерениям по состоянию на эпоху 1995 г

Системы высот

Счет высот в инженерной геодезии ведут от одной из уровенных поверхностей. Высотой точки называют расстояние по отвесной линии от точки до уровенной поверхности, принятой за начало счета высот.

Высоты являются абсолютными, если их отсчитывают от основной уровенной поверхности, то есть от поверхности геоида. На рис. 2.5 отрезки отвесных линий Аа и Вв  абсолютные высоты точек А и В .

Высоты называют условными, если за начало счета высот выбрана какая-либо другая уровенная поверхность. На рис. 2.5 отрезки отвесных линий Аа  и Вв   условные высоты точек А и В .

В России принята Балтийская система высот. Счет абсолютных высот ведут от уровенной поверхности. Численное значение высоты принято называть отметкой. Например, если высота точки А равна H А = 15,378 м, то говорят, что отметка точки равна 15,378 м.

Разность высот двух точек называется превышением . Так, превышение точкиВ над точкойА равно

h AB = H В  H A .

Зная высоту точки А , для определения высоты точкиВ на местности измеряют превышениеh AB . Высоту точкиВ вычисляют по формуле

H В = H A + h AB .

Измерение превышений и последующее вычисление высот точек называется нивелированием.

Абсолютную высоту точки следует отличать от ее геодезической высоты, то есть высоты, отсчитываемой от поверхности земного эллипсоида (см. раздел 2.2).Геодезическая высота отличается от абсолютной высоты на величину отклонения поверхности геоида от поверхности эллипсоида .

Земля – самая крупная из внутренних планет и самая массивная. При непосредственном наблюдении на местности поверхность Земли кажется плоской. Такой ее считали в древности. Много времени и усилий потребовалось человечеству, чтобы убедиться, что Земля имеет шарообразную форму. Когда и кто впервые это понял, в точности неизвестно, бесспорно, это было давно.

Значение шарообразности Земли. До V века до н.э. представление о форме Земли основывалось на чувственном восприятии: она считалась плоской, дискообразной, окруженной мифической рекой Океан. В IV в. до н.э. пифагорейцы создали учение о шарообразности Земли. Оно не выводилось из опытных наблюдений, а основывалось на логике: Земля как совершенное тело должна иметь и “совершенную” форму – шаровую. Представление о шарообразности Земли утвердилось не сразу.

Они были произведены после того, как Аристотель (IV в. до н.э.) доказал, что Земля – шар. Эратосфен (III в. до н.э.) высчитал его размеры, получив удивительно близкие к действительной длине большого круга – около 40000 км Он исходил из того, что в день летнего солнцестояния в городе Сиене (теперь Асусен, Египет) Солнце, находясь в зените, отражается в глубоких колодцах. В Александрии (790 км севернее Сиены), в это время солнечные лучи падают не вертикально, а под углом в 7 о 12" (угол был определен при помощи скафиса). Эратосфен рассмотрел расстояние между Александрией и Сиеной как часть дуги земной окружности, которая равняется 790 км, и определил длину дуги в 1 о – 107 км, а после определил, чему же равны все 360 о, т.е. получил 39500 км

Концепция шарообразной Земли произвела переворот в мировоззрении о представлении, о пространстве и имела огромное значение в развитии естествознания и философии.

1. Шаровая фигура при минимальном объеме концентрирует максимальную массу материи. Вещество планеты сжимается, внутри формируется центральное ядро и оболочки. Оболочечное строение Земли – одно из самых фундаментальных ее свойств. Внутри тела Земли господствуют силы тяготения, в атмосфере – силы сцепления.

2. Солнечные лучи на шаровую поверхность падают в разных широтах, под разными углами (рис.1.3). Это создает сферическое термическое поле Земли – количество тепла от экватора к полюсам уменьшается, формируются термические пояса – жаркий, два умеренных и два холодных. Распределение тепла по земной поверхности – главная причина формирования климатов.

Шарообразная форма планеты обуславливает постоянное разделение ее на освещенную дневную и неосвещенную ночную половины. Вместе с вращением вокруг оси это определяет суточную ритмику теплового режима географической оболочки.

Земля – сфероид. Фигуры планет создаются действием сил двух родов:

а) тяготения, которые формируют шаровую форму (на Земле силы тяготения в сотни раз больше, чем сцепление стали, на малых небесных телах, например астероидах, действуют силы сцепления, поэтому эти тела не имеют шаровой формы);

б) центробежными от осевого вращения, которые вызывают полярное сжатие (сплюснутость) и определяют сфероидальную форму.

Рис. 1.3. Углы наклонов солнечных лучей на шаровую
поверхность Земли

Центробежная сила придала Земле форму эллипсоида вращения, поверхность которого ближе к центру Земли у полюсов и дальше от него у экватора, подобно поверхности колец, сжимающихся при вращении.

Отступление эллипсоида от шара невелико – всего 21,5 км на полюсах (рис.1.4). Для процессов, происходящих в географической оболочке, распределения тепла, движения воздушных масс, расселения растений и животных – это не имеет значения.

Рис. 1.4. Форма эллипсоида Земли. Rn – 6356,8 км; Rэ – 6378,3 км; Rэ – Rn = 6378,2– 6356,8 = 21,5 км

Но сферическая деформация отражается на тектонике земной коры и, следовательно, на рельефе.

Еще в 1754 г И. Кант высказался о приливном трении, замедляющем вращение Земли. Поздней было доказано, что за геологическое время (с архея) сутки удлинились примерно на 4 часа. Происходит вековое замедление осевого вращения Земли. Через миллиард лет продолжительность суток возрастет до 31 часа. Полярная сплюснутость Земли была обнаружена еще в XVII в. В 1672 году из Парижа в Коенну были перевезены часы, маятник которых имел такую длину, при которой в Париже период качания равнялся секунде. Близ экватора часы стали отставать на 2 минуты в сутки, и маятник пришлось укоротить на 2 мм. Это явление Ньютон объяснил уменьшением силы тяжести в экваториальных широтах по сравнению со средней, которое вызвано сжатием Земли с полюсов и втянутостью по экватору.

Геодезические работы, проведенные под руководством Ф.Н. Красовского показали, что представление о форме Земли как о сфероиде недостаточно. Экваториальные полуоси или радиусы земного сфероида неодинаковые.

Приливы и отливы наблюдаются не только на море, но и на суше. В районе Москвы, например, поверхность земли два раза в сутки поднимается и опускается примерно на 1040 см, но мы этого не ощущаем.

Земля – геоид. Кроме сил тяготения, фигура Земли определяется и распределением в ее теле тяжелых и относительно легких горных пород, поскольку с их плотностью связано значение силы тяжести. В местах скопления тяжелых пород поверхность фигуры должна отступать к центру планеты, а там, где скопились породы меньшей плотности – от центра.

Фигурой планеты называется не ее физическая поверхность с горами, и низменными равнинами; это теоретическая – уровненная поверхность, которая всюду перпендикулярна направлению силы тяжести или отвесу. Она получила название геоида (что буквально означает – форма Земли) форма Земли не совпадает ни с какой математической фигурой и сугубо индивидуальна.

В последние годы обнаружено, что Земля слегка грушеподобна: в средних широтах южного полушария поверхность геоида несколько (20 м) выше сфероида. На экваторе они совпадают, в средних широтах северного полушария геоид ниже сфероида. Северный полюс приподнят на 15 м, южный полюс опущен на 20 м. А вся Антарктида на 30 м ниже эллипсоида.

Геоид - это модель фигуры Земли (т. е. ее аналог по размерам и форме), которая совпадает со средним уровнем моря, а в континентальных районах определяется спиртовым уровнем. Служит базовой поверхностью, от которой измеряются топографические высоты и глубины океана. Научная дисциплина о точной форме Земли (геоиде), ее определении и значимости называется геодезией. Более подробная информация об этом представлена в статье.

Постоянство потенциала

Геоид везде перпендикулярен направлению силы тяжести и по форме приближается к правильному сплюснутому сфероиду. Однако это не везде так из-за локальных концентраций скопившейся массы (отклонения от однородности на глубине) и из-за различий по высоте между континентами и морским дном. Математически говоря, геоид - это эквипотенциальная поверхность, т. е. характеризующаяся постоянством потенциальной функции. Она описывает комбинированные эффекты гравитационного притяжения массы Земли и центробежного отталкивания, вызванного вращением планеты вокруг своей оси.

Упрощенные модели

Геоид из-за неравномерного распределения массы и возникающих при этом не является простой математической поверхностью. Он не совсем подходит для эталона геометрической фигуры Земли. Для этого (но не для топографии) просто используются приближения. В большинстве случаев достаточным геометрическим представлением Земли является сфера, для которой должен быть указан только радиус. Когда требуется более точное приближение, используется эллипсоид вращения. Это поверхность, создаваемая поворотом эллипса на 360° относительно его малой оси. Эллипсоид, используемый в геодезических расчетах для представления Земли, называется эталонным. Такая форма часто используется в качестве простой базовой поверхности.

Эллипсоид вращения задается двумя параметрами: большой полуосью (экваториальный радиус Земли) малой полуосью (полярный радиус). Уплощение f определяется как разность между большой и малой полуосями, деленная на большую f = (a - b) / a . Полуоси Земли различаются примерно на 21 км, а эллиптичность составляет около 1/300. Отклонения геоида от эллипсоида вращения не превышают 100 м. Разница между двумя полуосями экваториального эллипса в случае трехосной эллипсоидной модели Земли составляет всего около 80 м.

Концепция геоида

Уровень моря, даже при отсутствии эффектов волн, ветров, течений и приливов, не образует простую математическую фигуру. Невозмущенная поверхность океана должна быть эквипотенциальной поверхности гравитационного поля, а поскольку последнее отражает неоднородности плотности внутри Земли, то это же относится и к эквипотенциалам. Частью геоида является эквипотенциальная поверхность океанов, которая совпадает с невозмущенным средним уровнем моря. Под континентами геоид не является непосредственно доступным. Скорее он представляет собой уровень, до которого поднимется вода, если через континенты от океана до океана проделать узкие каналы. Локальное направление силы тяжести перпендикулярно поверхности геоида, а угол между этим направлением и нормалью к эллипсоиду называют отклонением от вертикали.

Отклонения

Может показаться, что геоид - это теоретическая концепция, обладающая небольшой практической ценностью, особенно в отношении точек на поверхности суши континентов, но это не так. Высоты точек на земле определяются путем геодезического выравнивания, при котором спиртовым уровнем устанавливается касательная к эквипотенциальной поверхности, а калиброванные вешки выравниваются с помощью отвеса. Следовательно, различия в высоте определяются по отношению к эквипотенциалу и поэтому очень близко к геоиду. Таким образом, определение 3-х координат точки на континентальной поверхности классическими методами требовало знания 4-х величин: широты, долготы, высоты над геоидом Земли и отклонения от эллипсоида в этом месте. Отклонение вертикали играло большую роль, поскольку его компоненты в ортогональных направлениях привносили те же ошибки, что и в астрономических определениях широты и долготы.

Хотя геодезическая триангуляция обеспечивала относительные горизонтальные положения с высокой точностью, сети триангуляции в каждой стране или континенте начинались с точек с предполагаемыми астрономическими позициями. Единственная возможность объединения этих сетей в глобальную систему заключалась в вычислении отклонений во всех начальных точках. Современные методы геодезического позиционирования изменили этот подход, но геоид остается важной концепцией, обладающей определенной практической пользой.

Определение формы

Геоид - это, по существу, эквипотенциальная поверхность реального гравитационного поля. В окрестностях локального избытка массы, который добавляет потенциал ΔU к нормальному потенциалу Земли в точке, чтобы поддерживать постоянный потенциал, поверхность должна деформироваться наружу. Волна задается формулой N= ΔU/g, где g - локальное значение ускорения силы тяжести. Эффект массы над геоидом усложняет простую картину. Это можно решить на практике, но удобно рассматривать точку на уровне моря. Первая проблема заключается в определении N не через ΔU, который не измеряется, а по отклонению g от нормального значения. Разница между локальной и теоретической силой тяжести на той же широте эллипсоидальной Земли, свободной от изменений плотности, равна Δg. Эта аномалия возникает по двум причинам. Во-первых, из-за притяжения избытка массы, влияние которого на гравитацию определяется отрицательной радиальной производной -∂(ΔU) / ∂r. Во-вторых, из-за эффекта высоты N, поскольку гравитация измеряется на геоиде, а теоретическое значение относится к эллипсоиду. Вертикальный градиент g на уровне моря равен -2g/а, где a - радиус Земли, поэтому эффект высоты определяется выражением (-2g/a) N = -2 ΔU/a. Таким образом, объединяя оба выражения, Δg = -∂/∂r(ΔU) - 2ΔU/a.

Формально уравнение устанавливает связь между ΔU и измеримым значением Δg, а после определения ΔU уравнение N= ΔU/g даст высоту. Однако, поскольку Δg и ΔU содержат эффекты массовых аномалий по всей неопределенной области Земли, а не только под станцией, последнее уравнение нельзя решить в одной точке без ссылки на другие.

Проблему связи N и Δ g решил британский физик и математик сэр Джордж Габриэль Стокс в 1849 г. Он получил интегральное уравнение для N, содержащее значения Δg с функцией их сферического расстояния от станции. До запуска спутников в 1957 г. формула Стокса была основным методом определения формы геоида, но ее применение представляло большие трудности. Функция сферического расстояния, содержащаяся в подинтегральном выражении, очень медленно сходится и при попытке рассчитать N в любой точке (даже в тех странах, где g были измерены в широких масштабах) неопределенность возникает из-за наличия неисследованных районов, которые могут находиться на значительных расстояниях от станции.

Вклад спутников

Появление искусственных спутников, орбиты которых можно наблюдать с Земли, полностью революционизировало расчет формы планеты и ее гравитационного поля. Через несколько недель после запуска первого советского спутника в 1957 г. было получено значение эллиптичности, которое вытеснило все предыдущие. С того времени ученые неоднократно уточняли геоид программами наблюдения с околоземной орбиты.

Первым геодезическим спутником стал «Лагеос», запущенный Соединенными Штатами 4 мая 1976 г. на почти круговую орбиту на высоте около 6 тыс. км. Он представлял собой алюминиевую сферу диаметром 60 см с 426-ю отражателями лазерных лучей.

Форма Земли была установлена благодаря сочетанию наблюдений «Лагеоса» и поверхностных измерений силы тяжести. Отклонения геоида от эллипсоида достигают 100 м, а наиболее выраженная внутренняя деформация расположена к югу от Индии. Очевидной прямой корреляции между континентами и океанами нет, но прослеживается связь с некоторыми основными особенностями глобальной тектоники.

Радарная альтиметрия

Геоид Земли над океанами совпадает со средним уровнем моря при условии отсутствия динамических эффектов действия ветров, приливов и течений. Вода отражает радиолокационные волны, поэтому спутник, оборудованный радаром-высотомером, может использоваться для измерения расстояния до поверхности морей и океанов. Первым таким сателлитом был Seasat 1, запущенный Соединенными Штатами 26 июня 1978 года. На основе полученных данных была составлена карта. Отклонения от результата расчетов, сделанных предыдущим методом, не превышают 1 м.

εἶδος - вид, буквально - «нечто подобное Земле») - выпуклая замкнутая поверхность, совпадающая с поверхностью воды в морях и океанах в спокойном состоянии и перпендикулярная к направлению силы тяжести в любой её точке. Геометрическое тело , отклоняющееся от фигуры вращения эллипсоид вращения и отражающее свойства потенциала силы тяжести на Земле (вблизи земной поверхности), важное понятие в геодезии .

Определение понятия «геоид»

История

Термин «геоид» был предложен в 1873 году немецким математиком Иоганном Бенедиктом Листингом для обозначения геометрической фигуры, более точно, чем эллипсоид вращения , отражающей уникальную форму планеты Земля.

Применение

Геоид является поверхностью, относительно которой ведётся отсчёт высот над уровнем моря . Точное знание геоида необходимо, в частности, в навигации - для определения высоты над уровнем моря на основе геодезической (эллипсоидальной) высоты , непосредственно измеряемой GPS-приёмниками , а также в физической океанологии - для определения высот морской поверхности .

Квазигеоид

Фигура геоида зависит от распределения масс и плотностей в теле Земли. Она не имеет точного математического выражения и является практически неопределимой, в связи с чем в геодезических измерениях в России и некоторых других странах вместо геоида используется его приближение - квазигеоид. Квазигеоид, в отличие от геоида, однозначно определяется по результатам измерений, совпадает с геоидом на территории Мирового океана и очень близок к геоиду на суше, отклоняясь лишь на несколько сантиметров на равнинной местности и не более чем на 2 метра в высоких горах.

См. также

Напишите отзыв о статье "Геоид"

Примечания

Литература

• Парийский Н. Н. О некоторых следствиях несферичности Земли // Медленные деформации Земли и её вращение. М., 1985. С. 35-39.

Ссылки

История Земли Физические свойства Земли Оболочки Земли География и геология Окружающая среда См. также

Отрывок, характеризующий Геоид

– И знаете ли, мой милый, мне кажется, что решительно Буонапарте потерял свою латынь. Вы знаете, что нынче получено от него письмо к императору. – Долгоруков улыбнулся значительно.
– Вот как! Что ж он пишет? – спросил Болконский.
– Что он может писать? Традиридира и т. п., всё только с целью выиграть время. Я вам говорю, что он у нас в руках; это верно! Но что забавнее всего, – сказал он, вдруг добродушно засмеявшись, – это то, что никак не могли придумать, как ему адресовать ответ? Ежели не консулу, само собою разумеется не императору, то генералу Буонапарту, как мне казалось.
– Но между тем, чтобы не признавать императором, и тем, чтобы называть генералом Буонапарте, есть разница, – сказал Болконский.
– В том то и дело, – смеясь и перебивая, быстро говорил Долгоруков. – Вы знаете Билибина, он очень умный человек, он предлагал адресовать: «узурпатору и врагу человеческого рода».
Долгоруков весело захохотал.
– Не более того? – заметил Болконский.
– Но всё таки Билибин нашел серьезный титул адреса. И остроумный и умный человек.
– Как же?
– Главе французского правительства, au chef du gouverienement francais, – серьезно и с удовольствием сказал князь Долгоруков. – Не правда ли, что хорошо?
– Хорошо, но очень не понравится ему, – заметил Болконский.
– О, и очень! Мой брат знает его: он не раз обедал у него, у теперешнего императора, в Париже и говорил мне, что он не видал более утонченного и хитрого дипломата: знаете, соединение французской ловкости и итальянского актерства? Вы знаете его анекдоты с графом Марковым? Только один граф Марков умел с ним обращаться. Вы знаете историю платка? Это прелесть!
И словоохотливый Долгоруков, обращаясь то к Борису, то к князю Андрею, рассказал, как Бонапарт, желая испытать Маркова, нашего посланника, нарочно уронил перед ним платок и остановился, глядя на него, ожидая, вероятно, услуги от Маркова и как, Марков тотчас же уронил рядом свой платок и поднял свой, не поднимая платка Бонапарта.
– Charmant, [Очаровательно,] – сказал Болконский, – но вот что, князь, я пришел к вам просителем за этого молодого человека. Видите ли что?…
Но князь Андрей не успел докончить, как в комнату вошел адъютант, который звал князя Долгорукова к императору.
– Ах, какая досада! – сказал Долгоруков, поспешно вставая и пожимая руки князя Андрея и Бориса. – Вы знаете, я очень рад сделать всё, что от меня зависит, и для вас и для этого милого молодого человека. – Он еще раз пожал руку Бориса с выражением добродушного, искреннего и оживленного легкомыслия. – Но вы видите… до другого раза!
Бориса волновала мысль о той близости к высшей власти, в которой он в эту минуту чувствовал себя. Он сознавал себя здесь в соприкосновении с теми пружинами, которые руководили всеми теми громадными движениями масс, которых он в своем полку чувствовал себя маленькою, покорною и ничтожной» частью. Они вышли в коридор вслед за князем Долгоруковым и встретили выходившего (из той двери комнаты государя, в которую вошел Долгоруков) невысокого человека в штатском платье, с умным лицом и резкой чертой выставленной вперед челюсти, которая, не портя его, придавала ему особенную живость и изворотливость выражения. Этот невысокий человек кивнул, как своему, Долгорукому и пристально холодным взглядом стал вглядываться в князя Андрея, идя прямо на него и видимо, ожидая, чтобы князь Андрей поклонился ему или дал дорогу. Князь Андрей не сделал ни того, ни другого; в лице его выразилась злоба, и молодой человек, отвернувшись, прошел стороной коридора.

Около Александрийской библиотеки во время положения Солнца над Сиеной в зените, сумел измерить длину земного меридиана и вычислить радиус Земли. То, что форма Земли должна отличаться от шара впервые показал Ньютон.

Известно, что планета сформировалась под действием двух сил — силы взаимного притяжения её частиц и центробежной силы, возникающей из-за вращения планеты вокруг своей оси. Сила тяжести представляет собой равнодействующую этих двух сил. Степень сжатия зависит от угловой скорости вращения: чем быстрее вращается тело, тем больше оно сплющивается у полюсов.

Рис. 2.1. Вращение Земли

Понятие фигуры Земли может трактоваться по-разному в зависимости от того, какие требования предъявляются к точности решения тех или иных задач. В одних случаях Землю можно принять за плоскость, в других - за шар, в третьих - за двухосный эллипсоид вращения с малым полярным сжатием, в четвертых - трехосный эллипсоид.

Рис. 2.2. Физическая поверхность Земли (вид из космоса)

Суша составляет приблизительно одну треть от всей поверхности Земли. Она возвышается над уровнем моря в среднем на 900 - 950 м. По сравнению с радиусом Земли (R = 6371 км) это весьма малая величина. Поскольку большую часть поверхности Земли занимают моря и океаны, то за форму Земли можно принять уровенную поверхность, совпадающую с невозмущенной поверхностью Мирового океана и мысленно продолженную под материками.По предложению немецкого ученого Листинга данную фигуру назвали геоидом .
Фигура, ограниченная уровенной поверхностью, совпадающей с поверхностью воды Мирового океана в спокойном состоянии, мысленно продолженная под материками, называется геоидом.
Под Мировым океаном понимают поверхности морей и океанов, связанные между собой.
Поверхность геоида во всех точках перпендикулярна отвесной линии.
Фигура геоида зависит от распределения масс и плотностей в теле Земли. Она не имеет точного математического выражения и является практически неопределимой, в связи с чем в геодезических измерениях вместо геоида используется его приближение - квазигеоид. Квазигеоид , в отличие от геоида, однозначно определяется по результатам измерений, совпадает с геоидом на территории Мирового океана и очень близок к геоиду на суше, отклоняясь лишь на несколько сантиметров на равнинной местности и не более чем на 2 метра в высоких горах.
Для изучения фигуры нашей планеты сначала определяют форму и размеры некоторой модели, поверхность которой является сравнительно хорошо изученной в геометрическом отношении и наиболее полно характеризует форму и размеры Земли. Затем, принимая эту условную фигуру за исходную, определяют относительно нее высоты точек. Для решения многих задач геодезии за модель Земли принят эллипсоид вращения (сфероид).

Направление отвесной линии и направление нормали (перпендикуляра) к поверхности эллипсоида в точках земной поверхности не совпадают и образуют угол ε , называемый уклонением отвесной линии . Данное явление связано с тем, что плотность масс в теле Земли неодинакова и отвесная линия отклоняется в сторону более плотных масс. В среднем его величина составляет 3 - 4", а в местах аномалий достигает десятков секунд. Реальный уровень моря в разных регионах Земли отклонятся более чем на 100 метров от идеального эллипсоида.

Рис. 2.3. Соотношение поверхностей геоида и земного эллипсоида.
1) мировой океан; 2) земной эллипсоид; 3) отвесные линии; 4) тело Земли; 5) геоид

Для определения размеров земного эллипсоида на суше проводились специальные градусные измерения (определялось расстояние по дуге меридиана в 1º). На протяжении полутора веков (с 1800 по 1940 гг.) были получены различные размеры земного эллипсоида (эллипсоиды Деламбера (д"Аламбера), Бесселя, Хейфорда, Кларка, Красовского и др.).
Эллипсоид Деламбера имеет только историческое значение как основа для установления метрической системы мер (на поверхности эллипсоида Деламбера расстояние в 1 метр равно одной десятимиллионной расстояния от полюса до экватора).
Эллипсоид Кларка используется в США, странах Латинской Америки, Центральной Америки и других странах. В Европе используется эллипсоид Хейфорда. Он же был рекомендован в качестве международного, однако параметры указанного эллипсоида получены по измерениям, выполненным только на территории США, и, кроме того, содержат большие ошибки.
До 1942 г. в нашей стране применялся эллипсоид Бесселя. В 1946 г. размеры земного эллипсоида Красовского были утверждены для геодезических работ на территории Советского Союза и действуют до настоящего времени на территории Украины.
Эллипсоид, который используется данным государством, либо обособленной группой государств, для производства геодезических работ и проектирования на его поверхность точек физической поверхности Земли, называют референц-эллипсоидом. Референц-эллипсоид служит вспомогательной математической поверхностью, к которой приводят результаты геодезических измерений на земной поверхности. Наиболее удачная математическая модель Земли для нашей территории в виде референц-эллипсоида была предложена проф. Ф. Н. Красовским. На этом эллипсоиде основана геодезическая система координат Пулково-1942 (СК-42), которая использовалась в Украине для создания топографических карт с 1946 по 2007 год.

Размеры земного эллипсоида по Красовскому

Малая полуось (полярный радиус)
Большая полуось (экваториальный радиус)
Средний радиус Земли, принимаемой за шар
Полярное сжатие (отношение разницы полуосей к большой полуоси)
Площадь поверхности Земли	510083058 км²
Длина меридиана
Длина экватора
Длина дуги 1° по меридиану на широте 0°
Длина дуги 1° по меридиану на широте 45°
Длина дуги 1° по меридиану на широте 90°

При вводе Пулковской системы координат и Балтийской системы высот Совет Министров СССР возложил на Генеральный Штаб вооруженных сил СССР и Главное управление геодезии и картографии при Совете Министров СССР перевычисление в единую систему координат и высот триангуляционной и нивелирной сети, выполненной до 1946 года, и обязал их закончить эту работу в 5-летний срок. Контроль за переизданием топографических карт был возложен на Генеральный Штаб вооруженных сил СССР, а морских карт на Главный Штаб военно-морских сил.
1 января 2007 года на территории Украины введена УСК-2000 - Украинская система координат взамен СК-42. Практической ценностью новой системы координат является возможность эффективного использования глобальных навигационных спутниковых систем в топографо-геодезическом производстве, которые имеют целый ряд преимуществ в сравнении с традиционными методами.
Сведений о том, что в Украине произведено перевычисление координат СК-42 в УСК-2000 и изданы новые топографические карты автор этого учебного пособия не имеет. На учебных топографических картах, изданных в 2010 году Государственным научно-производственным предприятием «Картография», в левом верхнем углу по-прежнему осталась надпись «Система координат 1942 г.».
Система координат 1963 года (СК-63) являлась производной от предыдущей государственной системы координат 1942 года и имела определенные параметры связи с ней. Для обеспечения секретности в СК-63 были искусственно искажены реальные данные. С появлением мощной вычислительной техники для высокоточного определения параметров связи между различными координатными системами эта система координат утратила свой смысл в начале 80-х годов. Следует заметить, что СК-63 была отменена решением Совета Министров СССР в марте 1989 года. Но впоследствии, учитывая большие объемы накопленных геопространственных данных и картографических материалов (включая результаты выполнения землеустроительных работ времен СССР), срок ее использования был продлен до тех пор, пока все данные не будут переведены в действующую государственную систему координат.
Для спутниковой навигации используется трёхмерная система координат WGS 84 (англ. World Geodetic System 1984). В отличие от локальных систем, является единой системой для всей планеты. WGS 84 определяет координаты относительно центра масс Земли, погрешность составляет менее 2 см. В WGS 84 нулевым меридианом считается IERS Reference Meridian. Он расположен в 5,31″ к востоку от Гринвичского меридиана. За основу взят сфероид с большим радиусом - 6 378 137 м (экваториальный) и меньшим - 6 356 752,3142 м (полярный). Отличается от геоида менее чем на 200 м.
Особенности строения фигуры Земли полностью учитываются при математической обработке высокоточных геодезических измерений и создании государственных геодезических опорных сетей. Ввиду малости сжатия (отношение разности большой, экваториальной полуоси (а ) земного эллипсоида и малой полярной полуоси (b ) к большой полуоси [a - b ]/b ) ≈ 1:300) при решении многих задач за фигуру Земли с достаточной для практических целей точностью можно принять сферу , равновеликую по объему земному эллипсоиду . Радиус такой сферы для эллипсоида Красовского R = 6371,11 км.

2.2. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА

При определении положения точек на поверхности Земли и на поверхности земного эллипсоида пользуются некоторыми линиями и плоскостями.
Известно, что точки пересечения оси вращения земного эллипсоида с его поверхностью являются полюсами, один из которых называется Северным Рс , а другой - Южным Рю (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Основные линии и плоскости земного эллипсоида

Сечения земного эллипсоида плоскостями, перпендикулярными к малой его оси, образуют след в виде окружностей, которые называются параллелями. Параллели имеют различные по величине радиусы. Чем ближе расположены параллели к центру эллипсоида, тем больше их радиусы. Параллель с наибольшим радиусом, равным большой полуоси земного эллипсоида, называется экватором . Плоскость экватора проходит через центр земного эллипсоида и делит его на две равные части: Северное и Южное полушария.
Кривизна поверхности эллипсоида является важной характеристикой. Она характеризуется радиусами кривизны меридианного сечения и сечения первого вертикала, которые называются главными сечениями
Сечения поверхности земного эллипсоида плоскостями, проходящими через его малую ось (ось вращения), образуют след в виде эллипсов, которые называются меридианными сечениями .
На рис. 2.4 прямая СО" , перпендикулярная к касательной плоскости КК" в точке ее касания С , называется нормалью к поверхности эллипсоида в этой точке. Каждая нормаль к поверхности эллипсоида всегда лежит в плоскости меридиана, а следовательно, пересекает ось вращения эллипсоида. Нормали к точкам, лежащим на одной параллели, пересекают малую ось (ось вращения) в одной и той же точке. Нормали к точкам, расположенным на разных параллелях, пересекаются с осью вращения в различных точках. Нормаль к точке, расположенной на экваторе, лежит в плоскости экватора, а нормаль в точке полюса совпадает с осью вращения эллипсоида.
Плоскость, проходящая через нормаль, называется нормальной плоскостью , а след от сечения этой плоскостью эллипсоида - нормальным сечением . Через любую точку на поверхности эллипсоида можно провести бесчисленное множество нормальных сечений. Меридиан и экватор являются частными случаями нормальных сечений в данной точке эллипсоида.
Нормальная плоскость, перпендикулярная к плоскости меридиана в данной точке С , называется плоскостью первого вертикала , а след, по которой она пересекает поверхность эллипсоида, - сечением первого вертикала (рис. 2.4).
Взаимное положение меридиана и любого нормального сечения, проходящего через точку С (рис. 2.5) на данном меридиане, определяется на поверхности эллипсоида углом А , образованным меридианом данной точки С и нормальным сечением.

Рис. 2.5. Нормальное сечение

Этот угол называется геодезическим азимутом нормального сечения. Он отсчитывается от северного направления меридиана по ходу часовой стрелки от 0 до 360°.
Если принять Землю за шар, то нормаль к любой точке поверхности шара пройдет через центр шара, а любая нормальная плоскость образует на поверхности шара след в виде окружности, которая называется большим кругом.

2.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФИГУРЫ И РАЗМЕРОВ ЗЕМЛИ

При определении фигуры и размеров Земли использовались следующие методы:

Астрономо - геодезический метод

Определение фигуры и размеров Земли основано на использовании градусных измерений, суть которых сводится к определению линейной величины одного градуса дуги меридиана и параллели на разных широтах. Однако непосредственные линейные измерения значительной протяженности на земной поверхности затруднены, ее неровности существенно снижают точность работ.
Метод триангуляции. Высокая точность измерения значительных по протяженности расстояний обеспечивается применением метода триангуляции, разработанного в XVII в. голландским ученым В. Снеллиусом (1580 - 1626).
Триангуляционные работы для определения дуг меридианов и параллелей проводились учеными разных стран. Еще в XVIII в. было установлено, что один градус дуги меридиана у полюса длиннее, чем у экватора. Такие параметры характерны для эллипсоида, сжатого у полюсов. Этим подтверждалась гипотеза И. Ньютона о том, что Земля в соответствии с законами гидродинамики должна иметь форму эллипсоида вращения, сплюснутого у полюсов.

Геофизический (гравиметрический ) метод

Он основан на измерении величин, характеризующих земное поле силы тяжести, и их распределении на поверхности Земли. Преимущество этого метода в том, что его можно применять на акваториях морей и океанов, т. е. там, где возможности астрономо-геодезического способа ограничены. Данные измерений потенциала силы тяжести, выполненные на поверхности планеты, позволяют вычислить сжатие Земли с большей точностью, чем астрономо-геодезическим методом.
Начало гравиметрическим наблюдениям было положено в 1743 г. французским ученым А. Клеро (1713 - 1765). Он предположил, что поверхность Земли имеет вид сфероида, т. е. фигуры, которую приняла бы Земля, находясь в состоянии гидростатического равновесия под влиянием только сил взаимного тяготения ее частиц и центробежной силы вращения около неизменной оси. А. Клеро предположил также, что тело Земли состоит из сфероидальных слоев с общим центром, плотность которых возрастает к центру.

Космический метод

Развитие космического метода и изучения Земли связано с освоением космического пространства, которое началось с момента запуска советского искусственного спутника Земли (ИСЗ) в октябре 1957 г. Перед геодезией были поставлены новые задачи, связанные с бурным развитием космонавтики. В их числе - наблюдение за ИСЗ на орбите и определение их пространственных координат в заданный момент времени. Выявленные отклонения реальных орбит ИСЗ от предвычисленных, вызванные неравномерным распределением масс в земной коре, позволяют уточнить представление о гравитационном поле Земли и в конечном результате о ее фигуре.

Вопросы и задания для самоконтроля

Для каких целей используются данные о форме и размерах Земли?

По каким признакам в древности определили, что Земля имеет шарообразную форму?

Какую фигуру называют геоидом?

Какую фигуру называют эллипсоидом?

Какую фигуру называют референц-эллипсоидом?

Каковы элементы и размеры эллипсоида Красовского?

Назовите основные линии и плоскости земного эллипсоида.

Какие методы используются для определения фигуры и размеров Земли?

Дайте краткую характеристику каждому методу.