Дать определение линейных электрических цепей постоянного тока. Линейные и нелинейные электрические цепи

17.04.2024 | Декорирование

5.Основные методы анализа линейных электрических цепей.

Значительно упрощают расчет методом контурных токов , так как он позволяет сократить число уравнений.

При расчёте этим методом полагают, что в каждом независимом контуре схемы течёт свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Метод наложения : ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из Э.Д.С. схемы в отдельности. Линейная электрическая цепь описывается системой линейных уравнений Кирхгофа. Это означает, что она подчиняется принципу наложения (суперпозиции), согласно которому совместное действие всех источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого из них в отдельности.

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов . Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п-1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.

6. Причины возникновения и сущность переходных процессов.

Переход из одного стационарного состояния в другое происходит не мгновенно, а с течением времени, что обусловлено наличием в цепи накопителей энергии (индуктивностей катушек и ёмкостей конденсаторов). Магнитная энергия катушек и электрическая энергия конденсаторов скачком измениться не могут, т.к. для осуществления этого необходимы источники, имеющие бесконечно большую мощность. Процессы, сопровождающие этот переход, называются переходными .

7. Анализ переходных процессов во временной области. Классический метод

Классический метод расчета переходных процессов основан на составлении и последующем решении (интегрировании) дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа и связывающих искомые токи и напряжения послекоммутационной цепи и заданные воздействующие функции (источники электрической энергии. Преобразуя систему уравнений, можно вывести итоговое дифференциальное уравнение относительно какой-либо одной переменной величины x (t ):

Здесь n – порядок дифференциального уравнения, он же – порядок цепи, коэффициенты a k > 0 и определяются параметрами пассивных элементов R , L , C цепи, а правая часть является функцией задающих воздействий.

В соответствии с классической теорией дифференциальных уравнений полное решение неоднородного дифференциального уравнения находится в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения:

Ч
астное решение полностью определяется видом правой части f (t ) дифференциального уравнения. В электротехнических задачах правая часть зависит от воздействующих источников электрической энергии, поэтому вид
обуславливается (принуждается) источниками электрической энергии и называется принужденной составляющей.

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которые определяются коэффициентами дифференциального уравнения, и не зависит от правой части. Таким образом, любая искомая величина в переходном режиме

16.Активное реактивное и полное сопротивления. Треугольник сопротивлений

Из этого следует, что модуль комплексного сопротивления:

. (3.44)

Следовательно, z можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 3.13) – треугольника сопротивлений, один катет которого равен R, другой - х.

При этом

, (3.45)

. (3.46)

Зная
или
, можно определить угол .

Знак угла в выражениях для мгновенного значения тока определяется характером нагрузки: при индуктивном характере нагрузки (
) ток отстаёт от напряжения на угол и в выражении для мгновенного значения тока угол записывают со знаком минус, то есть ; при емкостном характере нагрузки (
) ток опережает напряжение на угол и выражение мгновенного значения тока записывают со знаком плюс, то есть .

17. Резонанс напряжений. Коэфф. Мощности. Треугольник мощностей.

Соответствует случаю, когда
(рис. 3.16). При этом
(см. подробнее раздел 3.10).

Из формулы 3.41 можно сделать вывод, что мощности P, Q, S связаны следующей зависимостью:

. (3.47)

Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного треугольника (рис. 3.17) – треугольника мощности, у которого имеются катет, равный Р, катет равный Q и гипотенуза S.

Отношение Р к S, равное
, называется коэффициентом мощности .

. (3.48)

На практике всегда стремятся увеличить
, так как реактивная мощность, которая всегда существует в цепи R, L, C, не потребляется, а используется лишь активная. Из этого можно сделать вывод, что реактивная мощность является лишней и ненужной.

21.Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Две катушки с сопротивлениями R 1 и R 2 , индуктивностями L 1 и L 2 и взаимной индуктивностью М соединены параллельно, причем одноимённые выводы присоединены к одному и тому же узлу (рис. 4.7).

При выбранных положительных направлениях токов и напряжения получаем следующие выражения:

; (4.11)

; (4.12)

; (4.13)

где
(4.14)

В этих уравнениях комплексные напряжения
и
взяты со знаком плюс, так как положительные направления этих напряжений (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых эти напряжения зависят, ориентированы относительно одноименных выводов одинаково. Решив уравнения, получим

; (4.15)

; (4.16)

. (4.17)

Откуда следует, что входное комплексное сопротивление рассматриваемой цепи

. (4.18)

Рассмотрим теперь включение, при котором одноименные выводы присоединены к разным узлам, т. е. L 1 и L 2 присоединены к узлу разноименными выводами. В этом случае положительные направления напряжений взаимной индукции (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых они зависят, ориентированы относительно одноименных выводов неодинаково и комплексные напряжения
и
войдут в уравнения (4.12) и (4.13) со знаком минус. Для токов
получатся выражения, аналогичные (4.15-4.17), с тем отличием, что Z М заменяется на - Z М и входное сопротивление цепи

. (4.19)

25.Определение четырёхполюсника. Основные формы записи уравнений четырёхполюсника

В ряде случаев необходимо рассматривать электрические цепи с двумя входными и двумя выходными зажимами, в которых ток и напряжение на входе связаны линейными зависимостями с напряжением и током на выходе.

Такие цепи называются четырёхполюсниками . Они могут иметь сколь угодно сложную структуру, так как в процессе исследования цепи важно определить не токи и напряжения в отдельных ветвях, а только зависимости между входными и выходными напряжениями и токами.

Иногда четырёхполюсниками называют электрические аппараты и устройства, имеющие пару входных и пару выходных зажимов. К ним, например, относятся однофазные трансформаторы, участки линии электропередачи, мостовые диодные выпрямители, сглаживающие фильтры и прочее.

Условное изображение четырехполюсника показано на рис. 7.1.

О
дну пару выводов называют входными (обозначаются
), другую - выходными (обозначаются
).

Если четырёхполюсник не содержит источников электрической энергии, то он называется пассивным , а если содержит – активным .

Примером активного четырёхполюсника может служить электронный усилитель.

На схеме активный четырёхполюсник изображается в виде прямоугольника с буквой А. Пассивный четырёхполюсник обозначается буквой П, либо вообще не обозначается.

Если у четырёхполюсника рабочими являются обе пары зажимов, то он называется проходным .

Четырёхполюсник, по сути, является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам
, как правило, подключают источник питания, к выходным зажимам
- нагрузку.

Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами на входных и выходных выводах можно записать в различной форме.

Возможны следующие шесть форм записи уравнений пассивного четырёхполюсника:

Форма А (основная):

, (7.1)

, (7.2)

где A,D – безразмерные коэффициенты;

С – [См]= [Ом -1 ]

27. Метод эквивалентного генератора

В практических расчётах часто нет необходимости знать режимы работы всех элементов сложной цепи, но ставится задача исследовать режимы работы одной определённой ветви.

При расчёте сложной электрической цепи приходится выполнять значительную вычислительную работу даже в том случае, когда требуется определить ток в одной ветви. Объём этой работы в несколько раз увеличивается, если необходимо установить изменение тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления данной ветви, так как вычисления нужно производить несколько раз, задаваясь различными значениями сопротивления.

В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от структуры и сложности, условно изобразить прямоугольником, который представляет собой так называемый двухполюсник.

Таким образом, двухполюсник - это обобщённое название схемы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выделенной ветви. Если в двухполюснике есть источник Э.Д.С. или тока, то такой двухполюсник называют активным. Если в двухполюснике нет источника Э.Д.С. или тока, то его называют пассивным.

При решении задачи методом эквивалентного генератора (активного двухполюсника) необходимо:

1 . Мысленно заключить всю схему, содержащую Э.Д.С. и сопротивления, в прямоугольник, выделив из нее ветвь аb, в которой требуется найти ток (рис 2.13).

Найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab (в режиме холостого хода).

Напряжение холостого хода Uо (эквивалентное Э.Д.С. Еэ) для рассматриваемой цепи можно найти так:
.

Сопротивление R4 в расчёт не вошло, так как при разомкнутой ветви ab ток по нему не протекает.

3. Найти эквивалентное сопротивление. При этом источники Э.Д.С. закорачиваются, а ветви, содержащие источники тока, размыкаются. Двухполюсник становится пассивным.

Д ля данной схемы

4. Вычислить значение тока. Для данной схемы имеем:
.

Цель : Экспериментальное исследование сложных электрических цепей постоянного тока методом компьютерного моделирования. Проверка опытным путем метода расчета сложных цепей постоянного тока с помощью первого и второго законов Кирхгофа. электрический сложный цепь кирхгоф

Электрической цепью называют совокупность источников и приемников электрической энергии, соединенных между собой проводами, предназначенную для передачи и преобразования электрической энергии. Источники электрической энергии характеризуются величиной ЭДС E , измеряемой в вольтах (В), и внутренним сопротивлением r , измеряемым в омах (Ом).

Приемниками электрической энергии в электрических цепях могут быть катушка индуктивности, конденсатор, аккумуляторная батарея в режиме зарядки, электрическая машина в режиме двигателя, лампа накаливания, электрическая печь и другие электрические компоненты. В них происходит необратимое (электрические печи) или обратимое (конденсатор, катушка индуктивности и аккумуляторная батарея) преобразование электрической энергии в другие ее виды. В цепях постоянного тока мы будем далее рассматривать только так называемые диссипативные элементы, которые не могут накапливать электрическую или магнитную энергию. Полученная ими электрическая энергия необратимо преобразуется в другие виды энергии, например в тепло. Все эти приемники - лампы накаливания, электрические печи и другие пассивные приемники мы будем представлять в виде резисторов, которые характеризуются основным параметром - электрическим сопротивлением R , равным отношению постоянного напряжения U между выводами резистора к постоянному току I , протекающему в нем, т. е.: R=U/I . Величина электрического сопротивления R , измеряется в омах (Ом).

Для расчета простых электрических цепей используют закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС. Например, если между двумя точками а и b в электрической цепи включены только пассивные элементы - резисторы, то закон Ома для этого участка цепи запишется:

Если же участок цепи a-b содержит источник ЭДС E ab , то ток, протекающий по этому участку, будет определяться формулой:

Здесь - ток, протекающий по участку ab ,

Напряжение на участке ab , т.е. напряжение между точками a и b ;

Суммарное сопротивление всех пассивных элементов, включенных на участке ab цепи между точками a и b ;

ЭДС, действующая на участке ab . Эта ЭДС входит в выражение со знаком плюс, если ее направление совпадает с направлением тока, и со знаком минус, если ее направление противоположно направлению тока.

При последовательном соединении резисторов R 1 и R 2 их сопротивления складываются, т.е. эквивалентное сопротивление в этом случае будет равно:

При параллельном соединении тех же двух резисторов их эквивалентное сопротивление находится по формуле:

Сложной электрической цепью называют такую цепь, которая не может быть сведена только к последовательному или параллельному соединению источников и приемников электрической энергии (рис. 1.1).

Линейной электрической цепью называют электрическую цепь, содержащую приемники и источники электрической энергии, параметры которых (сопротивления и проводимости) остаются постоянными и не зависят от величины и направления протекающего через них тока. Зависимость тока от приложенного напряжения в таких приемниках (резисторах) изображается прямой линией, а сами резисторы называются линейными резисторами.

Сложные электрические цепи имеют несколько узлов и ветвей, а также могут иметь и несколько источников питания. Ветвью электрической цепи называют участок схемы, состоящий из нескольких последовательно соединенных элементов, по которым протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называют точку соединения, к которой подходит не менее трех ветвей.

Расчет сложной линейной электрической цепи заключается в определении токов во всех ветвях и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, составленных по законам Кирхгофа для данной электрической цепи.

Решение системы алгебраических уравнений представляет собой достаточно трудоемкую работу, объем которой возрастает с увеличением числа неизвестных при увеличении сложности электрической цепи.

В целях сокращения числа уравнений, решение которых даст искомые величины и определит режим электрической цепи, разработаны различные методы расчета линейных электрических цепей: например, метод контурных токов, где уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, или метод узловых потенциалов, когда уравнения составляются только по первому закону Кирхгофа.

В данной лабораторной работе экспериментально исследуется метод расчета электрических цепей с помощью составления и решения уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: сумма притекающих к узлу токов равна сумме вытекающих из узла токов или алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, т. е.

Например, для узла b (см. рис. 1.1):

Второй закон Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на всех сопротивлениях этого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре, т. е.

Например, для контура abda :

R 1 ·I 1 +R 3 ·I 3 =E 1. (1.6)

Для контура cbdc :

R 2 ·I 2 +R 3 ·I 3 = E 2. (1.7)

Запишем уравнения (1.6) - (1.7) в канонической форме. Для этого расположим неизвестные в уравнениях в порядке их нумерации и заменим отсутствующие члены членами с нулевыми коэффициентами:

I 1 +I 2 -I 3 = 0

R 1 ·I 1 + 0·I 2 +R 3 ·I 3 = E 1

0·I 1 +R 2 ·I 2 +R 3 ·I 3 = E 2 ,

или в матричной форме:

После подстановки численных значений ЭДС и сопротивлений полученная система уравнений решается известными из математик и методами, например методом Крамера или методом Гаусса. Можно решить эту систему и в интегрированном пакете MATHCAD.

В любой электрической цепи выполняется закон сохранения энергии, т. е. мощность, развиваемая источниками электрической энергии равна сумме мощностей, потребляемых приемниками электрической энергии. Этот баланс мощностей записывается следующим образом:

Выполнение работы (вариант 1)

1) «Собрала» на экране монитора электрическую схему (рис. 1.1), параметры элементов которой должны быть установлены на компьютере в соответствии с вариантом (табл. 1.1).

Таблица 1.1

3. Составила систему уравнений по законам Кирхгофа для исследуемой цепи, подставив в эти уравнения вместо сопротивлений и ЭДС их величины.

I 1 -I 2 +I 3 = 0,

R 1 ·I 1 + R 2 ·I 2 +0·I 3 = E 1 ,

0·I 1 +R 2 ·I 2 +R 3 ·I 3 = E 2.
4. Решила полученную систему методом обратной матрицы в программе Excel (Рис.1. Решение системы уравнений методом обратной матрицы) и результаты расчета занесла в табл. по форме 1.1. Сравнить расчетные токи с измеренными ранее в лабораторной работе.

Рис. 1

5. Проверила баланс мощностей по равенству:

В ходе работы я провела экспериментальное исследование сложных электрических цепей постоянного тока методом компьютерного моделирования. Сравнив результаты данного своего эксперимента, я убедилась, что результаты совпали. Значит, метод расчета сложных цепей постоянного тока с помощью двух законов Кирхгофа доказан опытным путем.

Ветвь и узел электрической цепи

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. В зависимости от особенностей схемы следует применять тот или иной способ расчета электрической цепи. В данном разделе рассмотрим ключевые понятия, которые в дальнейшем будут необходимы для выбора наиболее оптимального и правильного приема решения задач.

Ветвью называется участок электрической цепи, обтекаемый одним и тем же током. Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными элементами цепи.

Узел - место соединения трех и более ветвей.

В качестве примера на рисунке изображены схемы двух электрических цепей. Первая из них содержит 6 ветвей и 4 узла. Вторая состоит из 5 ветвей и 3 узлов. В этой схеме обратите внимание на нижний узел. Очень часто допускают ошибку, считая что там 2 узла электрической цепи, мотивируя это наличием на схеме цепи в нижней части 2-х точек соединения проводников. Однако на практике следует считать две и более точки, соединенных между собой проводником, как один узел электрической цепи.

При обходе по соединенным в ветвях цепям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел встречается в данном контуре не более одного раза. Ниже приведена электрическая схема, на которой отмечено несколько произвольно выбранных контуров.

Всего для данной цепи можно выделить 6 замкнутых контуров.

Закон Ома

Данный закон очень удобно применять для ветви электрической цепи. Позволяет определить ток ветви при известном напряжении между узлами, к которым данная ветвь подключена. Также позволяет буквально в одно действие рассчитать одноконтурную электрическую цепь.

При применении закона Ома предварительно следует выбрать направление тока в ветви. Выбор направления можно осуществить произвольно. Если при расчете будет получено отрицательное значение, то это значит, что реальное направление тока противоположно выбранному.

Для ветви, состоящей только из резисторов и подключенной к узлам электрической цепиa и b (см. рис.) закон Ома имеет вид:

Соотношение (1.15) написано в предположении, что выбрано направление тока в ветви от узла a к узлу b . Если мы выберем обратное направление, то числитель будет иметь вид: (U b -U a). Теперь становится понятно, что если в соотношении (1.15) возникнет ситуация, когда U b >U a то получим отрицательное значение тока ветви. Как уже упоминалось выше, это значит, что реальное направление тока противоположно выбранному. Примером практического применения данного частного случая закона Ома при расчетах электрических цепей является соотношение (1.18) для электрической цепи, изображенной на рисунке.

Для ветви содержащей резисторы и источники электрической энергии закон Ома принимает следующий вид:

Соотношение (1.16) написано в предположении, что предварительно выбрано напавление тока от узла a к узлу b . При расчете алгебраической суммы ЭДС ветви следует знак "+" присваивать тем ЭДС, чье направление совпадает с направлением выбранного тока ветви (направление ЭДС определяется направлением стрелки в обозначении источника электрической энергии). Если направления не совпадают, то ЭДС берется со знаком "-". На рисунке есть примеры применения данного варианта закона Ома - соотношения (1.17) и (1.19)

Линейные и нелинейные электрические цепи

Линейной электрической цепью называют такую цепь, все компоненты которой линейны. К линейным компонентам относятся зависимые и независимые идеализированные источники токов и напряжений, резисторы(подчиняющиеся закону Ома), и любые другие компоненты, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, наиболее известны электрические конденсаторы и катушки индуктивности. Если цепь содержит отличные от перечисленных компоненты, то она называется нелинейной.

Изображение электрической цепи с помощью условных обозначений называют электрической схемой. Функция зависимости тока, протекающего по двухполюсному компоненту, от напряжения на этом компоненте называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Часто ВАХ изображают графически в декартовых координатах. При этом по оси абсцисс на графике обычно откладывают напряжение, а по оси ординат - ток.

В частности, омические резисторы, ВАХ которых описывается линейной функцией и на графике ВАХ являются прямыми линиями, называют линейными.

Примерами линейных (как правило, в очень хорошем приближении) цепей являются цепи, содержащие толькорезисторы, конденсаторы и катушки индуктивности без ферромагнитных сердечников.

Некоторые нелинейные цепи можно приближенно описывать как линейные, если изменение приращений токов или напряжений на компоненте мало, при этом нелинейная ВАХ такого компонента заменяется линейной (касательной к ВАХ в рабочей точке). Этот подход называют «линеаризацией». При этом к цепи может быть применён мощный математический аппарат анализа линейных цепей. Примерами таких нелинейных цепей, анализируемых как линейные относятся практически любые электронные устройства, работающие в линейном режиме и содержащие нелинейные активные и пассивные компоненты (усилители, генераторы и др.).

электрическая цепь – это отдельно взятая группа электроприборов (утюги, блоки телевизоры, холодильники и т. д.) совместно с розетками, выключателями, проводами, автоматами и электрической подстанцией (как же без нее получить ток) на данный момент работающих совместно для достижения определенной цели. Ну а вот в зависимости от цели (просмотра любимой передачи, сохранения свежести продуктов или обеспечения стабильности питающих параметров в блоке питания компьютера) электрические цепи подразделяются на простые и сложные, неразветвленные и разветвленные, линейные и нелинейные.

То есть электрическую цепь можно рассматривать как совокупность отдельных электрических устройств, так и совокупность дискретных простейших деталей и связей между ними образующих один из функциональных блоков в электрической схеме какого-то устройства.

Неразветвленные электрические цепи – они же простые – это цепи в которых ток течет не меняя свое значение и по простейшему пути от источника энергии до потребителя. То есть через все элементы этой цепи течет один и тот же ток. Простейшей неразветвленной цепью можно считать цепь освещения одной из комнат в квартире, где используется однорожковая люстра. В данном случае ток течет от источника энергии через автомат, выключатель, лампочку и обратно к источнику энергии.

Разветвленные – это цепи имеющие одно или более ответвленных путей протекания тока. То есть ток начиная свой путь от источника энергии разветвляется на несколько ветвей потребителей, при этом меняя свое значение. Одним из несложных примеров такой цепи является приведенная выше цепь освещения комнаты в квартире, но только с многорожковой люстрой и многоклавишным выключателем. Ток от источника энергии доходит через автомат к многоклавишному выключателю, а дальше разветвляется на несколько ламп люстры, а далее через общий провод обратно к источнику энергии.

Линейной считается такая электрическая цепь, где характеристики всех ее элементов не зависят от величины и характера протекающего тока и приложенного напряжения.

Нелинейной считается цепь содержащая хотя бы один элемент, характеристики которого зависят от протекающего тока и приложенного напряжения.

2. Эквивалентные преобразования в электрических цепях. Определение эквивалентного сопротивления при последовательном, параллельном и смешанном соединении элементов электрических цепей.

При решении задач принято преобразовывать схему, так, чтобы она была как можно проще. Для этого применяют эквивалентные преобразования. Эквивалентными называют такие преобразования части схемы электрической цепи, при которых токи и напряжения в не преобразованной её части остаются неизменными.

Существует четыре основных вида соединения проводников: последовательное, параллельное, смешанное и мостовое.

Последовательное соединение – это такое соединение, при котором сила тока на всем участке цепи одинакова. Ярким примером последовательного соединения является старая елочная гирлянда. Там лампочки подключены последовательно, друг за другом. Теперь представьте, одна лампочка перегорает, цепь нарушена и остальные лампочки гаснут. Выход из строя одного элемента, ведет за собой отключение всех остальных, это является существенным недостатком последовательного соединения.

При последовательном соединении сопротивления элементов суммируются.

Параллельное соединение – это соединение, при котором напряжение на концах участка цепи одинаково. Параллельное соединение наиболее распространено, в основном потому, что все элементы находятся под одним напряжением, сила тока распределена по-разному и при выходе одного из элементов все остальные продолжают свою работу.

При параллельном соединении эквивалентное сопротивление находится как:

В случае двух параллельно соединенных резисторов

В случае трех параллельно подключенных резисторов:

Смешанное соединение – соединение, которое является совокупностью последовательных и параллельных соединений. Для нахождения эквивалентного сопротивления нужно, “свернуть” схему поочередным преобразованием параллельных и последовательных участков цепи.

Сначала найдем эквивалентное сопротивление для параллельного участка цепи, а затем прибавим к нему оставшееся сопротивление R 3 . Следует понимать, что после преобразования эквивалентное сопротивление R 1 R 2 и резистор R 3 , соединены последовательно.

Итак, остается самое интересное и самое сложное соединение проводников.

Мостовая схема соединения представлена на рисунке ниже.

Для того чтобы свернуть мостовую схему, один из треугольников моста, заменяют эквивалентной звездой.

И находят сопротивления R 1 , R 2 и R 3 .

Затем находят общее эквивалентное сопротивление, учитывая, что резисторы R 3 ,R 4 и R 5 ,R 2 соединены между друг другом последовательно, а в парах параллельно.

Линейные электрические цепи постоянного тока

1.Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Исходные данные:

E 1 =10 В

E 12 =5 В

R 1 =R 2 =R 3 =R 12 =R 23 =R 31 =30 Ом

1.Упростить сложную электрическую цепь (рис. 1), используя метод преобразования треугольника и звезды. Определить токи во всех ветвях сложной цепи (рис.1), используя следующие методы:

·Метод преобразования треугольника и звезды.

.Преобразованную электрическую цепь рассчитать:

·Методом наложения действий э. д. с.

·Методом эквивалентного генератора (определить ток в ветви без э. д. с.).

.Определить токи, направление токов и построить потенциальную диаграмму для одного из контуров схемы с двумя э. д. с.

.Определить коэффициенты четырёхполюсника, считая входными и выходными зажимами зажимы, к которым подключены ветви с э. д. с, и параметры Т-образной и П-образной эквивалентных схем замещения этого четырёхполюсника.

1. Упрощение сложной электрической цепи.

Для упрощения сложной электрической цепи (рис. 1), необходимо выбрать контур, содержащий пассивные элементы. Используем метод преобразования треугольника в звезду (рис. 2).

В результате цепь принимает вид (рис.3):

Найдем новые сопротивления преобразованной цепи. Т.к. по условию все исходные сопротивления одинаковы, то и новые сопротивления будут равны:

2. Расчет преобразованной электрической цепи

2.1 Метод наложения действий Э.Д.С.

Принцип метода наложений действий э. д. с. заключается в том, что в любой ветви схемы ток можно определить, как результат наложения частных токов, получающихся в этой ветви от каждой Э.Д.С. в отдельности. Для определения частных токов на основании исходной схемы (рис. 3) составим частные схемы, в каждой из которых действует одно Э.Д.С.. Получим следующие схемы (рис. 4 а, б):

Из рис.4. видно, что

·Найдем эквивалентное сопротивление в исходной схеме:

·Найдем общее сопротивление в 2-х частных цепях (причем они одинаковые):

·Найдем ток и разность потенциалов между точками 4,2 в первой цепи

·Найдем ток и разность потенциалов между точками 2,4 во второй цепи , а также ток в разветвленной части:

·Найдем токи в исходной цепи :

·Произведем проверку по балансу мощностей:

Т.к. мощность источника тока равна мощности приемника, то следует, что найденное решение верно.

2.2 Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора даёт возможность определить ток в отдельно взятой пассивной цепи (не имеющей источника Э.Д.С.), не вычисляя токи в других ветвях. Для этого представим нашу цепь в виде двухполюсника.

Определим ток в сопротивлении, рассмотрев режимы холостого хода (ХХ), в котором находим Э.Д.С. эквивалентного генератора, и короткого замыкания (КЗ), с помощью которого вычислим ток короткого замыкания и сопротивление эквивалентного генератора и:

Рис.6. Схема в режиме ХХ (А) и в режиме КЗ(Б)

·Определим Э.Д.С. холостого хода эквивалентного генератора:

·Определим ток короткого замыкания, применив первый закон Кирхгофа:

·Найдем эквивалентное сопротивление 2хП:

Определим ток в исследуемой ветви:

Определение токов и их направлений. Построение потенциальной диаграммы

В целях упрощения исследования электрических цепей и анализа режимов их работы, строят потенциальную диаграмму данной цепи. Потенциальной диаграмой называют графическое изображение распределения потенциалов в электрической цепи в зависимости от сопротивления её элементов.

Рис.7. Схема цепи

Так как точка 0 заземлена, отсюда следует, что

По данным значениям построим диаграмму:

Определение коэффициентов четырехполюсника

Метод четырёхполюсника применяется при необходимости исследования изменения режима одной ветви при изменении электрических характеристик в другой ветви.

Четырёхполюсником называется часть схемы электрической цепи между двумя парами точек, к которым присоединены две ветви. Чаще всего встречаются схемы, в которых одна из ветвей содержит источник, а другая приёмник. Зажимы, к которым присоединяется участок цепи с источником, называются входными, а зажимы, к которым присоединяется приёмник - выходными. Четырёхполюсник, который состоит только из пассивных элементов - пассивный. Если в схему четырёхполюсника входит хоть одна ветвь с ЭДС, то он называется активным.

Напряжения и токи ветвей, включенных к входным и выходным зажимам четырёхполюсника, связаны между собой линейными соотношениями, если вся электрическая цепь состоит и линейных элементов. Так как переменными являются то уравнения, связывающие их, должны предусматривать возможность нахождения двух из них, когда два других известны. Число сочетаний из четырёх по два равно шести, т.е. существуют шесть форм записи уравнений. Основной формой записи является А-форма:

где - напряжения и токи на входе и выходе четырёхполюсника;

постоянные четырёхполюсника, зависящие от конфигурации схемы и величин, входящих в неё сопротивлений.

Задача исследования режима ветви на выходе четырёхполюсника в связи с режимом на входе сводится на первом этапе к определению его постоянных. Их измеряют расчётным путем или измерением.

Рис.8. Исходная цепь

Преобразуем цепь:

Рис.9. Преобразованная цепь

·Определим параметры четырехполюсника, используя режимы ХХ и КЗ:

·Режим ХХ:

Рис.10. Схема Т-образного 4хП в режиме ХХ

Режим КЗ:

·Определим постоянные 4хП при ХХ и КЗ:

Если, то четырёхполюсник является симметричным, т.е. при перемене источника и приёмника местами, токи на входе и выходе четырёхполюсника не изменяются.

Для любого четырёхполюсника справедливо выражение AD-BC=1.

Проверим полученные при вычислении коэффициенты:

·Определим параметры П-образной схемы замещения 4хП:

Коэффициенты для П-образной схемы замещения пассивного четырёхполюсника вычисляются по следующим формулам:

Параметры схем замещения и постоянные четырёхполюсника связаны соответствующими формулами. Из них нетрудно найти сопротивления Т-образной и П-образной схем замещения и таким путем перейти от любой заданной схемы пассивного четырёхполюсника к одной из эквивалентных схем.

·Параметры Т-образной схемы можно найти через соответствующие коэффициенты:

·Параметры П-образной схемы:

3. Расчет линейной электрической цепи синусоидального тока с сосредоточенными параметрами при установившемся режиме

Исходные данные:

Часть 1

1.Определить показания всех приборов, указанных на схеме.

.Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

.Написать мгновенные значения токов и напряжений.

.Определить для данной цепи индуктивность, при которой будет иметь место резонанс напряжений.

.Определить емкость, при которой в ветвях 3-4 наблюдается резонанс токов.

.Построить график изменения мощности и энергий, как функции времени, для ветвей 3-4, соответствующие резонансу токов.

Часть 2

1.Определить комплексы токов в ветвях и комплексы напряжений для всех ветвей цепи (рис. 14).

.Построить в комплексной плоскости векторную диаграмму напряжений и токов.

.Написать выражения мгновенных значений, найденных выше напряжений и токов.

.Определить комплексы мощностей всех ветвей.

.Определить показания ваттметров, измеряющих мощности в 3-ей и 4-ой ветвях.

Часть № 1

1. Определение показаний приборов

Для определения показаний приборов, преобразуем нашу цепь, представив активное и реактивное сопротивления в каждой ветви в виде общего сопротивления Zn:

·Найдем полные сопротивления соответствующих ветвей:

При параллельном соединении ветвей 2, 3 и 4 проводимость разветвления определяется как сумма проводимостей ветвей, поэтому необходимо по переходным формулам определить проводимость этих ветвей.

Найдем активные проводимости параллельной ветви:

Найдем реактивные проводимости параллельной ветви:

Найдем полные проводимости параллельной ветви:

Активная и реактивная проводимости разветвления:

При последовательном соединении левого (1) и правого (2,3,4) участков сопротивления всей цепи определяется как сумма сопротивлений участков, поэтому необходимо по переходным формулам вычислить активное и реактивное сопротивления правого участка:

Полное сопротивление правого участка равно:

Активное и реактивное сопротивление всей цепи:

Полное сопротивление всей цепи:

Ток всей цепи, а следовательно, ток неразветвленной части цепи равен:

Разность фаз напряжения и тока всей цепи

Напряжение левого участка цепи

Отдельно могут быть вычислены активная и реактивная составляющие напряжения

Проверка:

Разность фаз напряжения и тока левого участка

Напряжение правого участка цепи

Разность фаз напряжения и тока

Токи ветвей 2, 3 и 4 могут быть вычислены по напряжению и сопротивлению:

Отдельно могут быть вычислены активные и реактивные составляющие токов:

Знак минус указывает на емкостный характер реактивного тока.

Знак плюс указывает на индуктивный характер реактивного тока.

Проверка:

Разность фаз напряжения и токов:

Из выше приведенных вычислений, определим показания приборов:

Построение векторных диаграмм токов и напряжений

Произвольно направляем вектор напряжений всей цепи, под углом

к нему чертим вектор тока всей цепи: т.к. мы переходим от вектора напряжений к вектору тока, положительный угол откладывается против направления вращения векторов. Под углом к вектору тока откладываем вектор напряжения правого участка, под углом - вектор напряжения левого участка; так как переходим от вектора тока к векторам напряжений, положительные угл

откладываются по вращению векторов.

Под углом и к вектору напряжения (по вращению векторов) откладываем вектора токов второй и третьей ветви, под углом (против вращения векторов) - вектор тока четвертой ветви.

Проверкой правильности решения задачи и построения векторной диаграммы служат геометрические суммы векторов напряжения и и векторов токов, которые должны дать соответственно векторы напряжения и тока всей цепи.

Мгновенные значения токов и напряжений.

·Вычислим соответствующие амплитуды токов и напряжений:

Составление баланса активной и реактивной мощности.

Для проверки расчёта тока в ветвях, составим баланс мощностей для схемы

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.:

Баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

т.е. баланс активной мощности соблюдается.

т.е. баланс реактивной мощности соблюдается.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным соединением индуктивного и емкостного элемента.

Рис.3. Эл.цепь при резонансе напряжений

Резонанс токов.

Часть № 2.

1. Определение комплексов токов в ветвях и комплексов напряжений для всех ветвей цепи.

Вычислим комплекс полного сопротивления параллельного разветвления

Комплекс полного сопротивления всей цепи

Так как перед мнимой частью стоит положительный знак, можно утверждать, что цепь имеет индуктивный характер.

Дальнейший расчет будет заключаться в определении комплексов напряжений и токов всех ветвей цепи, исходя из комплекса заданного напряжения всей цепи. Очевидно, проще всего направить вектор этого напряжения по вещественной оси; причем комплекс напряжения будет вещественным числом.

Тогда комплекс тока всей цепи, а следовательно, тока разветвленной части

Модуль (абсолютное значение) тока

Комплексы напряжений левого и правого участков цепи:

Проверка:

Вычислим комплексы токов параллельных ветвей 2, 3 и 4:

Проверка:

Построить в комплексной плоскости векторную диаграмму напряжении и токов

Рис 22. Векторная диаграмма напряжений и токов в комплексной плоскости

Написать выражения мгновенных значений найденных выше напряжений и токов

1. Определить комплексы мощностей всех ветвей

Следовательно, активная P, реактивная Q и полная S мощности соответственно равны:,

Плюс перед мнимой частью указывает на индуктивный характер реактивной мощности.

Проверка:

Определить показания ваттметров, измеряющих мощность в 3-ей и 4-ой ветвях

Вывод

электрический цепь ток

В курсовой работе рассмотрены методы расчёта линейных электрических цепей постоянного тока, определения параметров четырёхполюсника различных схем и их свойства. Так же был произведён расчет электрической цепи синусоидального тока сосредоточенными параметрами при установившемся режиме.

Список литературы

1.Методические указания к курсовой работе по расчёту линейных электрических цепей постоянного тока. В.М. Ишимов, В.И. Чукита, г. Тирасполь 2013 г.

Теоретические основы электротехники В. Г. Мацевитый, г. Харьков 1970

Теоретические основы электротехники. Евдокимов А.М. 1982г.

1.1.Элементы электрических цепей постоянного тока

Электромагнитные устройства с происходящими в них физическими процессами можно заменить некоторым расчетным эквивалентом – электрической цепью (ЭЦ).

Электрической цепью называют совокупность источников электрической энергии, соединенных с нагрузками. Электромагнитные процессы в ЭЦ можно описать с помощью понятий: ток – I (А), напряжение – U (В), электродвижущая сила (ЭДС) – Е (В), электрический потенциал в точке а – φ a , сопротивление – R (Ом), проводимость – g (См), индуктивность – L (Гн), емкость – С (Ф).

Постоянный ток, не изменяющийся во времени ни по величине, ни по направлению, представляет собой упорядоченное «направленное» движение электрических зарядов. Носителями зарядов в металлах являются электроны, в полупроводниках – дырки и электроны, в жидкостях – ионы, в газовом разряде – электроны и ионы. Упорядоченное движение носителей зарядов в проводнике вызывается электрическим полем, создаваемым источниками электрической энергии.

Источник энергии характеризуется величиной и направлением ЭДС и величиной внутреннего сопротивления.

На рис. 1.1а)изображена схема неразветвленной электрической цепи.

в)

а)

б)

Зависимость протекающего по сопротивлению R тока от напряжения на этом сопротивлении I=f(U), называется вольтамперной характеристикой (ВАХ). Сопротивления, ВАХ которых – прямые линии (рис.1.1.б.), называются линейными, а электрические цепи с такими сопротивлениями – линейными электрическими цепями. Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями, называют нелинейными (рис. 1.1.в.), а электрические цепи с таким сопротивлениями − нелинейными. В неразветвленной цепи через каждый участок протекает один и тот же ток. В разветвленной цепи, представленной на рис.1.2., в каждой ветви протекает свой ток.

Ветвью называется участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами, заключенными между двумя узлами а и b (рис.1.2.). Узел – это точка цепи, в которой сходится не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий нет электрического соединения, то точка не ставится.

1.2. Закон Ома для участка цепи

Напряжение U ab на участке a-b ЭЦ (рис.1.3.) понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Ток I течет от точки «а» большего потенциала к точке «b» меньшего потенциала, т.е. на величину падения напряжения на сопротивлении R

а)

Рис. 1.4.

На рис. 1.4. (а и б) показаны участки цепей с источником ЭДС, по которым протекает ток I . Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками «а» и «с» . Согласно определению в обоих случаях имеем

На рис.1.4.а) перемещение от точки «с» к точке «b» является встречным направлению ЭДС Е , поэтому на величину Е

Потенциал в точке «b» на рис. 1.4.б)оказывается выше, чем в точке с на величину ЭДС Е

Поскольку ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах а и b рис. 1.4. потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R

Таким образом, на рис. 1.4.а)

а на рис. 1.4.б).

, или .

Т.о., для участка цепи, содержащего источник ЭДС, можно найти ток этого участка по разности потенциалов .

Ток для схемы рис. 1.4.а) ,

для схемы рис.1.4.б) .

Полученные уравнения выражают закон Ома для участков цепи, включающих источники ЭДС, направленные по току и против тока.

1.3. Источник ЭДС и источник тока

Источник энергии в схеме рис. 1.5.а), очерченный пунктирной линией, включает источник ЭДС Е и внутреннее сопротивление r вт .

Внешняя характеристика источника напряжения (или ВАХ) в общем случае определяется как ,

где U xx − напряжение при разомкнутой цепи нагрузки. Этому выражению соответствует прямая наклонная линия на рис. 1.5.а).

а)

б)

Рис. 1. 5.

в)

б)

а)

Рис. 1.6.

Рассмотрим два крайних случая.

1) При и , получим , тогда ВАХ − прямая линия, источник ЭДС (рис. 1.6.б) представляет собой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого не зависит от величины тока.

2) Если у источника питания повышается ЭДС и внутреннее сопротивление , , то , тогда . Ток источника тока , и ВАХ примет вид, показанный на рис.1.6.в).

Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, в котором ток не зависит от сопротивления нагрузки.

При построении эквивалентных схем замещения ветви, содержащие источники напряжения, замыкают накоротко (r вт =0), а ветви с источниками тока ликвидируют (т. к. ). Ток в нагрузке для схем рис. 1.6.б)и в) одинаков;

для источника ЭДС , для источника тока .

Осуществим переход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. Пусть в схеме б) =50 А, =2 Ом, в схеме а) ЭДС =100 В. Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис.1.5.а) равны = 100 В, = 2 Ом.

Можно пользоваться любым эквивалентом, но в основном пользуются источником напряжения.

1.4. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

1.4.1.Расчет по законам Кирхгофа

Все ЭЦ подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма токов, приходящих к любому узлу схемы, равна нулю. Сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла.

Согласно 2-й формулировке .

Физически 1-й закон Кирхгофа означает, что при движении электронов по цепи ни в одном из узлов заряды не накапливаются.

Второй закон Кирхгофа так же можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма падений напряжений на резистивных элементах в любом замкнутом контуре равно алгебраической сумме ЭДС. .

В каждую из сумм составляющие слагаемые входят со знаком «+» , если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «-» , если не совпадают.

Алгебраическая сумма напряжений участков вдоль любого замкнутого контура равна нулю ,

где m – число участков контура, так, для периферийного контура схемы рис.1.8. имеем .

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменений токов и напряжений во времени.

При составлении уравнений для расчетов токов в ветвях схемы с помощью законов Кирхгофа учитываем, что в каждой ветви течет свой ток.

Рис. 1.8.

Обозначим число всех ветвей схемы через «б» , число ветвей, содержащих источники тока, через «б ист.т » , и число узлов – через «у». Так как токи в ветвях с источниками тока неизвестны, то число неизвестных токов запишем как «б» - «б ист.т » .

Перед тем как составить уравнения, необходимо а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) выбрать положительные направления контуров для составления уравнений по 2-ому закону Кирхгофа.

Желательно во всех контурах положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке, как показано на рис. 1.9.

Чтобы получить независимые уравнения, по 1-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. «у-1» . По 2-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока б - б ист.т , за вычетом числа уравнений, составленных по 1- му закону Кирхгофа. В рассмотренном (б - б ист.т)-(у -1) = 3 – 2 + 1 = 2.

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в контуры, для которых уже записаны уравнения. Такие контуры условно можно назвать независимыми.

По 1- ому закону Кирхгофа составляем одно уравнение .

По 2-ому закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контура , знак «+» взят перед , потому что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак «-» перед показывает, что направление встречно обходу контура.

Для контура .

Используя законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число уравнений, путем совместного решения которых можно найти все определяемые величины (например, токи), а также установить зависимости между ними.

1.4.2. Преобразование ЭЦ с различным соединением сопротивлений

1. Последовательным соединением сопротивлений называется такое, когда конец первого сопротивления соединяется с началом второго, конец второго сопротивления с началом третьего и т.д. Начало первого сопротивления и конец последнего подключаются к источнику питания или к каким-либо точкам ЭЦ (рис. 1. 9.). Во всех сопротивлениях протекает один и

Рис. 1.9.

тот же ток.

Рис. 1. 9.

Ток в цепи, напряжения на сопротивлениях и потребляемые ими мощности определяются следующими соотношениями.

1. Эквивалентное сопротивление электрической цепи .

2. Ток в сопротивлениях цепи .

3. Напряжение и мощность, подводимые к электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений равны, соответственно, сумме напряжений и мощностей ,

4. Напряжение и мощности распределяются пропорционально сопротивлениям .

2. При параллельном соединении сопротивлений соединяются между собой как начало всех сопротивлений, так и их концы (рис. 1.10.).

Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение на зажимах всех сопротивлений. Параллельно соединяются обычно различные приемники электрической энергии, рассчитанные на одно и то же напряжение. При параллельном соединении не требуется согласовывать номинальные данные приемников, возможно включение и отключение любых приемников независимо от остальных, а при выходе из строя любого из них остальные остаются включенными.

б)

а)

Рис. 1. 10.

Параллельное соединение можно применить, если требуется уменьшить сопротивления какого-либо участка электрической цепи, как показано на рис. 1.10.б).

Токи и мощности параллельно соединенных ветвей рис.1.10.а) при не зависят друг от друга.

1. Общий ток равен сумме токов параллельно соединенных ветвей

где: − эквивалентная проводимость, равная

− эквивалентное сопротивление, .

2. Токи и мощности в ветвях в ветвях вычисляются по формулам ; ; ; .

3. Отношение токов и мощностей равно отношению проводимостей и обратно пропорционально отношению сопротивлений

При увеличении параллельно соединенных сопротивлений эквивалентная проводимость ЭЦ увеличивается, а эквивалентное сопротивление уменьшается, что приводит к увеличению тока. Если напряжение остается const , то увеличивается также общая мощность.

3. Смешанным или последовательно-параллельным называется такое соединение сопротивлений, при котором на одних участках ЭЦ сопротивления соединены параллельно, а на других последовательно.

Анализ и расчет ЭЦ со смешанным соединением сопротивлений производится методом преобразований. Электрическая цепь (рис. 1.11.а) заменяется последовательно эквивалентными цепями до образования схемы, изображенной на рис. 1.11.б).

б)

а)

Рис. 1.11.

В соединении «треугольником» конец одного из сопротивлений соединяется с началом следующего и т.д., а узлы a,b,c подключаются к остальной части ЭЦ. В соединении «звездой» все концы соединяются вместе, а начала фаз подключаются к схеме. Если заменить сопротивление , , , соединенные в треугольник, эквивалентными сопротивлениями, соединенными звездой, то получим цепи со смешанным соединением сопротивлений.

Преобразование «звезды» в «треугольник»

б)

а)

Рис. 1. 12.

После замены токи и направления должны остаться без изменений.

Для «треугольника» ;

Для соединения звездой

По условию эквивалентности эквивалентные сопротивление обеих схем равны , следовательно, можно записать

1) ;

Структуры соединением «треугольник» и «звезда» по отношению к узлам симметричны, поэтому циклично запишем

2) ;

3) .

Сложим 1) и 3), вычтем 2), всё поделим на 2, получим

, , .

Если в «треугольнике» равны, то и в «звезде» равны: .

Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник. Для этого надо попарно перемножить 1) и 3) и сложить, затем вынести общий множитель и полученное уравнение разделить на 3)уравнение, т.е. . Далее поочередно поделить то же уравнение на и .

Путем циклической подстановки индексов при преобразовании звезды в треугольник получим

, , .

На рис. 1.13. поясняется упрощение схемы путем последовательной замены эквивалентными цепями при преобразовании «треугольника» в «звезду».

Рис. 1.14

В схеме рис. 1.14.два независимых контура. Допустим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток , в правом – контурный ток . Для каждого из контуров составим уравнение по II закону Кирхгофа.

Для первого контура , или

Для второго контура , или

В уравнении для 1-го контура множитель при токе , являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через . Множитель при токе , взятый со знаком «-» , обозначим через . Уравнения для 1-го и 2-го контуров примут вид , , здесь

; ;

где − полное или собственное сопротивление первого и второго контуров, соответственно.

− взаимное сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятые со знаком «-» .

− контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС, входящих в эти контуры.

Со знаком «+» входят ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода контура.

Отметим, что члены, содержащие полные контурные сопротивления, положительны, а взаимные – отрицательны.

Если в схеме будет три контура, то система уравнений примет вид

Или в матричной форме

, , .

Если в электрической цепи имеется «n» независимых контуров, то количество уравнений тоже равно n . Решение удобно проверить методами Крамера и Гаусса.

Общее решение системы n уравнений относительного тока

где и − определители системы.

По найденным токам ищем действительные токи ; ; ; ; , находим из 1-го закона Кирхгофа.

1.4.4. Метод узловых потенциалов.

б)

Рис. 1. 15.

По 1-му закону Кирхгофа для 1-го узла

, ;

или через проводимости

для 2-го узла

, ,

1) Узловая проводимость узла − это сумма проводимости ветвей, сходящихся в данном узле.

; ; .

2) Взаимная проводимость двух любых узлов − сумма проводимости ветвей, включённых между этими узлами.

3) Узловой ток − сумма произведений ЭДС на проводимости () ветвей, сходящихся в данном узле. Если ЭДС направлена к узлу, то берем ее как «+»; от узла «−».

; ; .