Изучение способа аналитического расчета многопролетных статически определимых балок на неподвижную нагрузку показало, что основной задачей расчета является определение расчетных уси­лий M max и Q max . Эта задача решается путем построения эпюр М и Q от заданной неподвижной нагрузки.

В то же время большое число инженерных сооружений, несущей частью которых являются сварные металлические конструкции, в том числе и балки, работают при воздействии подвижных нагрузок. Это железнодорожные и автодорожные мосты, подкрановые бал­ки и мосты кранов и др. Определить в этом случае расчетные усилия с помощью эпюр М и Q практически невозможно. Поэтому расчет на подвижную нагрузку производится иным способом.

Расчет сооружения на подвижную нагрузку в значительной степени об­легчается возможностью применения принципа независимости действия сил, сущность которого заключается в том, что внутренние усилия, напря­жения и деформации, вызванные воздействием на сооружение различных нагрузок, можно суммировать.

Если, например, на сооружение одновременно действуют две группы сил, то возникающее при этом усилие в любом элементе сооружения будет равно сумме усилий, возникающих в нем при действии каждой группы сил в отдельности. Исследование действия на сооружение подвижной нагрузки нач­нем с рассмотрения наиболее простого случая, когда по сооружению движется только один вертикальный груз Р, равный единице (рис. 3.14). Исследуем, как меняется тот или иной фактор (например, опорная реакция, изгибающий момент в определенном сечении балки, прогиб балки в данной точке и т. п.) при перемещении груза Р = 1 по сооружению. Установленный при этом закон изменения изучаемого фактора в зависи­мости от положения перемещающегося груза Р = 1 будем изображать графически.

График, изображающий закон изменения какого-либо силового фактора (напри­мер, изгибающего момента в сечении) при передвижении по сооружению силы Р = 1 , называется линией влияния этого фактора.

Понятие о линиях влияния. Очевидно, что величина любого усилия в элементах несущих конструкций зависит от положения внеш­ней подвижной нагрузки. Например, в однопролетной балке на двух опорах (рис, 3.14) величина опорной реакции R A будет тем больше, чем ближе к опоре находится подвижный груз Р , и наоборот, R A тем меньше, чем дальше от опоры А находится подвижный груз Р .

График, выражающий закон изменения усилий (опорных реакций, изгибающих моментов, поперечных сил в заданном сечении балки) в зависимости от положения на балке подвижного единичного груза Р = 1 , называется линией влияния.

Рассмотрим порядок построения линий влияния опорных реакций однопролетных балок.

Однопролетная статически определимая балка АВ (рис. 3.14 а ). Нагрузка на балку - подвижный единичный груз Р = 1 . Определим величину опорной реакции R A в зависимости от положения Р = 1 (в текущих координатах).

∑М В = 0; R A · L - P (L - X) = 0; R A = (L - X)/L. (3.12)

Уравнение (3.12) это уравнение прямой линии. Определим ее положение в координатах X – Y.

При Х = 0,75L R A = 0,25P , при Х = 0,5L R A = 0,5P., При Х =0,25L R A = 0,75Р , что и представлено в левой части рис. 3.14.

Рис. 3.14. Анализ изменения опорных реакций R A и R B в зависимости от положения единичного груза Р = 1 c построением графиков линий влияния опорных реакций R A (б ) и R B (в ) в зависимости от положения единичного груза при Р = 1

Отложим на левой опоре (Х = 0 ) ординату, равную + 1, в произволь­ном масштабе, на правой опоре (Х = L ) - ординату, равную нулю. Найденные две точки определяют положение прямой, которая и является линией влияния опорной реакции R A (рис. 3.14 б ). С помощью полученного графика можно определить величину опорной реакции при любом положении груза Р = 1 . Для этого достаточно измерить ординату под грузом. Эта ордината (в принятом масштабе) будет равна опорной реакции R A при данном положении Р = 1 . Линия влияния изображена на рис 3.14 в .

Рассмотрим на примере использование линии влияния для практических целей. Однопролетная балка АВ (рис. 3.15) нагружена тремя неподвижными сосредоточенными силами.

Рис. 3.15. Использование линии влияния для определения опорной реакции R A

С помощью линии влияния определим величину R A от действия данной нагрузки. Для этого воспользуемся одним из следствий принципа независи­мости действия сил: результаты воздействия на сооружение различных нагрузок можно суммировать. На основании этого

R A = P 1 · y 1 + P 2 · y 2 + P 3 · y 3 = 8 · 0,75 + 6 · 0,5 + 8 · 0,125 = 10 т (3.13) Рассмотрим порядок построения линии влияния изгибающего момента в произвольно выбранном сечении балки.

Статически определимая балка на двух oпорах АВ (рис. 3.16 а ). Найдем изгибающий момент в сечении I - I , которое находится на расстоянии а от левой опоры. Если подвижный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения (рис. 3.16 а ), то изгибающий момент в сечении равен

М 1 = R A · а = а · (L - X)/ L. (3.14)

График уравнения (3.14) также прямая, которая и является линиейвлияния изгибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 в ). Но это не вся линия влияния, а только ее правая ветвь. Она действительна от опоры В до сечения, так как уравнение (3.14) состав­лено при условии, что груз Р=1 находится на этой (правой) части балки. Переместим груз Р = 1 на часть балки слеваот сечения I - I . Тогда момент в сечении I - I равен

М 1 = R B · b. (3.15)

Рис 3.16. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении I - I

Строим график уравнения (3.15). На правой опоре откладываем орди­нату, равную отрезку, в . Прямая, соединяющая точки с ординатой в на правой опоре и с ординатой, равной нулю, налевой опоре, является линией влияния момента в сечении I - I . Но, как теперь понятно, это также не вся линия влияния, а ее левая ветвь (рис. 3.16 в ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния из­гибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 г ). Размерность ординат линии влияния изгибающего момента - метры (сантиметры).

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. Линия влияния М 1 по очертанию подобна эпюре изгибающих моментов от действия сосредоточенной силы. Но это сходство толь­ко внешнее. Между эпюрой изгибающих моментов и линией влияния изгибающего момента имеется принципиальная разница. Если эпюра моментов - это график распределения моментов во всех сечениях балки от неподвижной определенной нагрузки, то линия влияния момента - это график величин моментов в одном определенном сечении балки в зависимости от положения подвижного единичного груза Р = 1 .

Рассмотрим построение линии влияния поперечной силы.

Рис. 3.17. Построение линии влияния поперечной силы Q

Статически определимая балка на двух опорах АВ (рис. 3.17). Построим линию влияний поперечной силы Q I для сечения I - I , находящегося на расстоянии a левой опоры. Если подвиж­ный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения I - I, то величина поперечной силы в сечении равна

Q I = + R A . (3.16)

Напомним, что правило определения знаков поперечных сил в сечении рассмотрено выше (раздел 3.3.3, рис. 3.13).

Из уравнения (3.16) следует, что поперечная сила Q I и опорная реакция R A в зависимости от положения подвижного единично­го груза Р = 1 изменяются по одному и тому же закону. Следовательно, линия влияния R A будет также правой ветвью линии влияния Q I (рис. 3.17 а ).

Переместим груз Р =1 на часть балки слева от сечения I - I. Тогда

Q I = - R В. (3.17)

Из уравнения (2.17) следует, что линия влияния R В (с обратным знаком) будет также левой ветвью линии влиянияQ I (рис. 3.17 б ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния поперечной силы в сечении I - I (л.вл. Q I ) (рис 3.17 в ).

Рассмотрим построение линий влияния для однопролетных балок с консолями (рис. 3.18).

Рис 3.18. Балка АВ с линиями влияния R A , , R B , M и Q в сечении I – I между опорами

Построение линий влияния опорных реакций, изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся в пределах основного пролета АВ , производится по тем же правилам, что и для балки без консолей.

Величина опорной реакции R A в текущих координатах опре­деляется по формуле (3.12), приведенной выше.

R A = (L - X)/L,

Формула (3.12) справедлива при всех положениях груза Р = 1 , включая консоли (рис. 3.18 а ). Построение линии влияний опорной реакции R A : соединяем прямой две точки - первую с ординатой, равной + 1 , на левойопоре, и вторую с ординатой, равной нулю, на правой опоре. Затем продолжаем прямую до концов консолей. В пределах правойконсоли ординаты отрицательные. Это означает, что R A направлена вниз, когда груз Р = 1 находится в пределах этой консоли.

Линию влияния момента в сечении I-I построим как для обычной балки, но левую и правую ветви продолжим до концов консолей (рис. 3.18 в ). В пределах консолей ординаты линии влияния отрицатель­ны. Это означает, что момент всечении I - I отрицателен, когда груз Р = 1 находится на консолях.

При построении линии влияния поперечной силы в сечении I - I правую и левую ветви необходимо продолжить до конца консолей (рис. 3.18, г ).

Построение линий влияния изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся на консолях, производится по иным правилам (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Линии влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II для сечений I – I и II – II на консолях балки

Линия влияния изгибающего момента в сечении I - I будет только в пределах от сечения I - I до конца консоли. Представляется очевидным, что когда груз Р = 1 находится слева от сечения I - I , сечение не работает, в нем нет изгибающего момента (и поперечной силы).

Поэтому ординаты линии влияния М 1 слева от сечения I - I равны нулю. Величина изгибающего момента в сечении I - I в текущих координатах (рис. 3.19 а ), равна

М 1 = -Р · Х = -Х

Когда груз Р = 1 находится над сечением (Х = 0 ), М 1 = 0 , когда груз находится на краю консоли (Х = d ), М 1 = -d . Линия влияния М 1 и М 1 I приведены на рис. 2.19 б ; линии влияния Q I и Q II - на рис. 3.19 в . (Знаки ординат линий влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II определены всоответствии со схемами, показанными на рис. 3.13).

Рассмотрим построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок.

Построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок базируется на тех же закономерностях, которые используются при исследовании однопролетных балок.

Рассмотрим балку А-Н (рис. 3.20 а ). Балка статически определима и геометрически неизменяема. Составим схему взаимодействия (рис. 3.20 б ), которая помогает определить основные и вспомогательные элементы.

При построении линий влияния следует руководствоваться следующими правилами:

а) линии влияния для второстепенного элемента не отличаются по правилам построения от линий влияния для обычной однопролетной балки и не выходят за пределы элемента;

б) при построении линий влияния для основного элемента сначала строим ее, не обращая внимания на второстепенные элементы, как для обычной однопролетной балки, а затем учитываем их воз­действие (второстепенных элементов).

Рассмотрим построение линий влияния на примере для балки А-Н (рис. 3.20 а ).

Линии влияния опорных реакций R A и R В (рис. 3.20 в, г ), строим сначала в пределах основного элемента ABC, как для обычной балки с консолями. Когда груз Р = 1 перейдет на второстепенный элемент СД , его воздействие на величину опорных реакций R A и R В начнет уменьшаться и станет равным нулю при положении груза в точке Д . Соответственно равным нулю при этом положении груза Р = 1 станут и величины опорных реакций R A и R В. Правее шарнира Д ординаты линий влияния R A и R В равны нулю, так как при положении груза Р = 1 правее шарнира Д он не оказывает никакого воздействия на эти опорные реакции.

Линии влияния М 1 II и Q 1 II для сечения III - III , находящегося на второстепенной балке СД , не отличаются от линий влияния для обычной однопролетной балки (рис. 3.20 д ).

Линии влияния М 1 и Q 1 для сечения I - I , находящегося впределах основного пролета основного элемента ABC , строим, придерживаясь правил, примененных при построении линий влияния R A и R В (рис. 3.20 е ).

Линии влияния М 1 I и Q 1 I для сечения II - II , находящегося на консольной части основного элемента ABC , строим сначала как для обычной балки, затем учитываем воздействие второстепенного элемента СД . Когда груз Р = 1 достигнет шарнира Д , его воздействие через элемент СД на величину М 1 I и Q 1 I прекратится (рис.3.20 ж ).

Линии влияния R Е, М 1 V и Q 1 V подобны по построению линиям влияния соответственно R A , М 1 и Q 1 , так как элемент ДЕFG также является основным. Только на величину R Е, М 1 V и Q 1 V помимо второстепенного элемента СД оказывает воздействие второй второстепенный элемент GH (рис. 3.20 з, и, к ).

Линия влияния М V подобна по построению линии влияния М 1 I , а линия влияния М 1 V - соответственно линии влияния М 1 II (рис. 3.20 л, м ).

Правильность построения линий влияния можно проверить статическим способом. Для этого, располагая груз Р = 1 в произволь­но выбранных сечениях на балке, необходимо составить и решить соответствующие уравнения статики (по методике, рассмотренной в разделе 3.3.3).

Рис. 3.20. Построение линий влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил для многопролетной балки в сечениях I, II, III, IV, V и VI

Рассмотрим построение линий влияния в многопролетной балке на конкретном примере (рис. 11а ).

Линия влияния реакций опор, изгибающих моментов и поперечных сил в каком-либо сечении в многопролетной статически определимой балке удобнее строить с использованием ее поэтажной схемы, которая дает наглядное представление о взаимодействии пролетов (рис.11б ).

Рис. 11. Линии влияния в многопролетной балке

Подвесные балки BC (балка-вставка) и KLT относительно основных двух балок AB и CDEK являются передаточными и испытывают нагрузку только тогда, когда она действует непосредственно на эти балки.

При движении единичного груза по подвесной балке KLT , возникающая опорная реакция R k будет оказывать давление на балку CDEK , изменяя в частности, опорные реакции R B и R E . Как только единичный груз достигнет

опоры L , опорная реакция R L = 1, а опорная реакция R K = 0, а, следовательно, давление на балку CDEK будет отсутствовать (R B = 0, R E = 0).

При движении единичного груза по основной балке CDEK последняя никакого давления на подвесные балки KLT и BC не оказывает.

Используя подобные рассуждения, можно сформулировать основные принципы построения линий влияния в многопролетной балке:

1. Для многопролетной балки строим поэтажную схему.

2. Для элементарной балки, в которой задано сечение, строим линии влияния, используя рис. 10.

3. Линии влияния достраиваются только на вышерасположенные балки по следующим правилам:

Под соединительными шарнирами линии влияния всегда имеют перелом;

Под следующей опорой вышерасположенных балок вселинии влияния имеют нулевые ординаты;

В пределах каждой вышерасположенной балки линии влияния прямолинейны.

Ординаты линии влияния на опорах второстепенных балок (шарнирах) определяются из отношений сходственных сторон подобных треугольников.

Для балки, изображенной на рис.11, построим линии влияния опорной реакции R E и линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях 1 и 2 .

Линия влияния опорной реакции R E

Опора R E принадлежит балке CDEK - это двух опорная балка со свисающими консолями. В соответствии с рис. 8 в отложим единицу под опорой E , соединим с нулем на опоре D и продлим влево и вправо на величину консольных вылетов. Ординаты линии влияния в сечениях C и K балки CDEK определим из отношений сторон подобных треугольников. Достраиваем линию влияния на вышерасположенные балки BC и KLT . Соединяем ординату линии влияния в сечении C с нулем в шарнире B , а ординату линии влияния в сечении K с нулем на опоре L и продлеваем вправо на величину консольного вылета LT . Ординату линии влияния в сечении T определим из отношений сторон подобных треугольников.

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М , Q , N и выполнить проверки.Задано соотношение I 2 =2I 1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I 1 =I , тогда I 2 =2I .

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по :

n =ΣR -Ш -3 =5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима , и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему . За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С .

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой , действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х 1 и Х 2 и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной .

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х 1 =1 и Х 2 =1 и строим эпюры .

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру М F .

М 1 =0

М 2 = -q ·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М 3 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М 4 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М 5 = -q ·8·4-F ·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Подставляем в каноническое уравнение , сокращаем на ЕI .

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х 1 , а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х 2 =7,12кН , тогда Х 1 =-1,14 кН .

1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

Сначала строим эпюры :

Тогда эпюра М ок

Проверки окончательной эпюры моментов (М ок ).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии .

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

где М S – суммарная эпюра единичных моментов , для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х 1 =1 и Х 2 =1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру М S .

Выполняем деформационную проверку по ступеням :

1. Построение Эп Q по Эп М ок .

Эп Q строим по формуле :

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу :

,

где М пр – момент правый,

М лев – момент левый,

ℓ — длина участка.

Разобьем Эп М ок на участки:

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

z меняется от 0 до ℓ

Строим ЭпQ:

1. Построение Эп N по Эп Q .

Вырезаем узлы рамы , показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами .

Строим Эп N .

1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр и проверяем по уравнениям статики .

Все проверки сошлись. Задача решена.

Уравнение для параболы :

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда х А =0, у А =0

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Формула для параболы :

Для точек А и В :

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0» ).

Распор Н определим из уравнения относительно т. С , используя свойство шарнира .

Таким образом, реакции арки :

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

1. Определение по формуле:

К примеру, для т. А :

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

Тогда арочные поперечные силы:

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n =С оп -Ш -3

где n – степень статической определимости ,

С оп – количество неизвестных опорных реакций ,

Ш — количество шарниров ,

3 – количество уравнений статики .

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: С оп = 2+3=5 . Балка имеет два шарнира, значит, Ш =2

Тогда n =5-2-3=0 . Балка является статически определимой .

1. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок .

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

Балки, которые опираются только на свои опоры , называются основными . Балки, которые опираются на другие балки , называются подвесными . Балка СD – основная , остальные – подвесные .

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных . Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком .

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно , строим для нее эпюры Q и М . Начинаем с подвесной балки АВ .

Определяем реакции R А , R В .

Наносим реакции на схему.

Строим Эп Q методом сечений .

Строим Эп М методом характерных точек .

В точке, где Q =0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум . Определим положение т.К , для этого приравниваем уравнение для Q 2 к 0 , а размер z заменим на х .

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР .

Балка ЕР относится к , эпюры для которых известны.

Теперь рассчитываем основную балку СD . В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции R В и R Е , направленные в обратную сторону.

Рассчитываем реакции балки СD .

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений .

Строим эпюру М методом характерных точек .

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка .

Строим эпюру М .

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки , при этом не допускаем переломов на эпюре М . Задача решена.

Статически определимая ферма. Задача . Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели , а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d =2м; h =3м; ℓ =16м; F =5кН .

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В , нанесем опорные реакции R А и R В .

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична , реакции будут равны между собой:

, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия ∑М А =0 (находим R В ), ∑М В =0 (находим R А ), ∑у =0 (проверка) .

Теперь обозначим элементы фермы:

«О » — стержни верхнего пояса (ВП),

«U » — стержни нижнего пояса (НП),

«V » — стойки ,

«D » — раскосы .

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О 4 — усилие в стержне верхнего пояса; D 2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О 2 , D 1 , U 2 (стержни второй панели), усилие в стойке V 2 , а также усилие в срединной стойке V 4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

1. Метод моментной точки (метод Риттера),
2. Метод проекций,
3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда , когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О 2 , D 1 , U 2 . Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки . Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней , попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О 2 .

Моментной точкой для О 2 будет т.14 , т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D 1 и U 2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О 2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О 2 – сжат .

Определяем усилия в стержне U 2 . Для U 2 моментной точкой будет т.2 , т.к. в ней пересекаются два других стержня — О 2 и D 1 .

Теперь определяем моментную точку для D 1 . Как видно из схемы, такой точки не существует , поскольку усилия О 2 и U 2 не могут пересекаться , т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим .

Воспользуемся методом проекций . Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У . Для проекции на данную ось раскоса D 1 потребуется знать угол α . Определим его.

Определим усилие в правой стойке V 2 . Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2 , оно проходит через стержни О 3 , V 2 , U 2 . Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим , применим метод проекций . Спроектируем все силы на ось У .

Теперь определим усилие в срединной стойке V 4 . Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов . Стойка V 4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11 . Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V 4 направим по оси У ). Усилия, как и прежде, направляем от узла , предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х =0, -U 4 + U 5 =0, U 4 = U 5

∑у =0, V 4 =0.

Таким образом, стержень V 4 - нулевой .

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0 .

Правила определения нулевых стержней — смотреть .

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны .

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения .

Статически неопределимая балка. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки

Определим степень статической неопределимости n= С оп — Ш — 3= 1.

Балка 1 раз статически неопределима, значит для её решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Одна из реакций является «лишней» . Для раскрытия статической неопределимости сделаем следующее: за «лишнюю» неизвестную реакцию примем реакцию опоры В . Это реакция R b . Выбираем основную систему (ОС) путём отбрасывания нагрузок и «лишней» связи (опоры В). Основная система – статически определимая .

Теперь основную систему нужно превратить в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной, для этого: 1) загрузим основную систему заданной нагрузкой, 2) в точке В приложим «лишнюю» реакцию R b . Но этого недостаточно, поскольку в заданной системе т.В неподвижна (это опора), а в эквивалентной системе – может получать перемещения. Составим условие, по которому прогиб точки В от действия заданной нагрузки и от действия «лишней» неизвестной должен быть равен 0 . Это и будет дополнительное уравнение совместности деформаций .

Обозначим прогиб от заданной нагрузки Δ F , а прогиб от «лишней» реакции Δ Rb .

Тогда составим уравнение Δ F + Δ Rb =0 (1)

Вот теперь система стала эквивалентной заданной.

Решим уравнение (1) .

Чтобы определить перемещение от заданной нагрузки Δ F :

1) Загружаем основную систему заданной нагрузкой .

2) Строим грузовую эпюру .

3) Снимаем все нагрузки и в точке В, где требуется определить перемещение прикладываем единичную силу . Строим эпюру единичных сил .

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

Раздел 1. Статически определимые системы

Часть 1. Введение в курс. Кинематический анализ сооружений

1.1. Предмет и задачи строительной механики. Расчетные схемы сооружений и их классификации.

Связи и опорные устройства

Единый объект, построенный (сооруженный) человеком, называется сооружением . Сооружения необходимы для удовлетворения жизненных потребностей людей и улучшения качества их жизни. Они должны быть удобными, прочными, устойчивыми и безопасными.

Строительство сооружений – вид древнейшего занятия людей и древнее искусство. Результаты многих археологических раскопок, проведенных в различных частях мира, сохранившиеся до наших дней древние сооружения и здания являются доказательством этого. Их совершенство и красота, даже с точки зрения современных знаний, говорят об искусстве и большом опыте древних строителей.

Вопросами расчета сооружений занимается специальная наука строительная механика , которую часто называют механикой сооружений . Самостоятельно как наука строительная механика начала развиваться в первой половине XIX века в связи с начавшимся активным строительством мостов, железных дорог, плотин, судов и крупных промышленных сооружений. В XX веке в результате развития методов расчета и компьютерных технологий строительная механика поднялась на современный высокий уровень. Отсутствие методов расчета таких сооружений не позволяло осуществить легкие, экономичные и одновременно надежные конструкции.

Считается, что строительная механика возникла после выхода в свет в 1638 году сочинения великого итальянского ученого Галилео Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению …».

Ряд его выводов о сопротивлении балок изгибу являются ценными и сегодня. Однако создать цельную теорию изгиба балок ему так и не удалось, ибо он ошибочно считал, что при изгибе все волокна балок растянуты. Кроме того, в то время не была уста­новлена связь между напряжениями и деформациями. Позже Р. Гуком (1678 г.) этот закон был сформулирован в простейшей форме: каково растяжение - такова сила, В последующем» во второй половине ХУТ11 в. были проведены экспериментальные исследования, установившие наличие в изгибаемой балке как сжимающих, так и растягивающих напряжений. Это, в свою очередь, привело к решению задачи об изгибе балки, поставленной Галилеем. Большое значение в тот период времени в развитие механики имели работы Эйлера и Лагранжа, успехи высшей математики.

Развитие методов расчета статически неопределимых систем связано, например, с именами Б.П. Клапейрона (уравнение трех моментов для расчета неразрезных балок), Дж.К . Максвелла и О. Мора (определение перемещений в упругих системах по заданным внутренним силам). К 30–м гг. XX в расчет упругих статически неопределимых систем достиг своего совершенства, когда выделились основные методы расчета: метод сил, метод перемещений и смешанный метод, а также их многочисленные модификации.

Одним из первых ученых России проблемами прочности заинтересо­вался М.Ломоносов , в частности, сформулированный им закон сохранения энергии является одним из основополагающих в строительной механике, На базе его разработан универсальный метод определения перемещений.

Значителен вклад в развитие механики, особенно в области экспериментальных методов, русского механика И.Кулибина (1733 - 1818 гг.). Он разработал проект арочного деревянного моста пролетом 300 м через Неву, при этом он первым применил при расчете усилий правило веревочного многоугольника сил. Одним из самых блестящих проектов металлического моста также принадлежит И.Кулибину . Он предложил его в виде трехарочной системы.

Дальнейшее развитие теория и практика мостостроения получили вработах Д.Журавского (1821 - 1891 гг.). Он разработал теорию расчета плоских ферм. Ему же принадлежит создание теории касательных напряжений при изгибе.

Значительный вклад в становление и развитие строительной механики внесли Х.С.Головин (1844-1904) (расчет арок и кривых стержней методами теории упругости), Н.А.Белелюбский (1845-1922) (мостостроение, применение в мостах железобетона, литого железа, издание курса строительной механики), Ф.С.Ясинский (1856-1899) (исследования по теории устойчивости стержней), В.Л.Кирпичев (1845-1913) (законы подобия, превосходные учебники по строительной механике).

В конце XIX - начале XX вв. значительный вклад в развитие механики внесли такие всемирно известные ученые как А.Н.Крылов (теория корабля, приближенные методы решения задач механики), С.П.Тимошенко (теория изгиба и устойчивости, задачи теории пластин и оболочек, выдающиеся учебники, не потерявшие своего значения и в настоящее время), Г.В.Колосов (плоская задача теории упругости), И.Г.Бубнов (вариационные методы), Б.Г.Галеркин (теория пластин и оболочек, приближенные методы).

Большое количество работ посвятил статике сооружений замечательный инженер, академик В.Г.Шухов (1853-1939). Гиперболоидные ажурные башни, наливные речные и морские суда, сетчатые своды получили широкое распространение во всем мире благодаря его таланту. Он же положил начало развития актуальнейшего в настоящее время направления строительной механики - оптимизация конструкций.

Профессор Л.Д.Проскуряков (1858–1926) впервые предложил при строительстве моста через Енисей шпренгельные фермы, а усилия в них он определял посредством линий влияния.

Всеобщую признательность завоевали труды таких выдающихся ученых как Н.И.Мусхелишвили (плоская задача теории упругости), М.В.Келдыш (задачи механики самолета), М.А.Лаврентьев (приложение функций комплексных переменных в механике) В.З.Власов (теория оболочек), И.М.Рабинович (теория стержневых систем) и др.

В связи с появлением ЭВМ существенные видоизменения произошли в статике и динамике сооружений. Широкое распространение получил метод конечных элементов, на базе которого создан ряд мощных автоматизированных комплексов по расчету зданий и сооружений (Лира, Феникс и др.), позволяющих с высокой степенью точности оценить напряженно-деформированное состояние конструкций, проектировать оптимальные сооружения.

Строительной механикой , в широком смысле, называется наука о методах расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость при действии на них статических (статика сооружений) и динамических (динамика сооружений) нагрузок.

Строительная механика является и теоретической, и прикладной наукой. С одной стороны, она разрабатывает теоретические основы методов расчета, а с другой стороны − является инструментом расчета, так как решает важные практические задачи, связанные с прочностью, жесткостью и устойчивостью сооружений.

Воздействие нагрузок приводит как к деформированию отдельных элементов, так и самого сооружения в целом. Расчетом и теоретической оценкой результатов их воздействия занимается механика деформированного твердого тела . Частью этой науки является прикладная механика (сопротивление материалов) , занимающаяся расчетом простейших сооружений или их отдельных элементов. Другая ее часть – строительная механика уже позволяет рассчитывать разные и весьма сложные многоэлементные сооружения. Механика деформированного твердого тела широко используются методы теоретической механики, изучающей равновесие и движение твердых тел, условно принимаемых за абсолютно твердые.

Для правильного расчета сооружений следует правильно применять общие законы механики, основные соотношения, учитывающие механические свойства материала, условия взаимодействия элементов, частей и основания сооружения. На этой базе формируются расчетная схема сооружения в виде механической системы и еематематическая модель как система уравнений.

Чем подробнее изучаются внутреннее строение сооружения, действующая на него нагрузка и особенности материала, тем сложнее становится его математическая модель. На следующей схеме (рис. 1.1) показаны основные факторы, влияющие на особенности расчета сооружения.

Рис.1.1

В классической строительной механике рассматриваются только стержневые системы. Однако практические потребности предопределили появление новых, специальных курсов строительной механики, где рассматриваются нестержневые системы. Так появились курсы “Строительная механика корабля” (рассматривается расчет пластин и оболочек), “Строительная механика самолета” (рассматривается расчет пластинок и оболочек применительно к самолетным конструкциям), “Строительная механика ракет” (основная часть этого курса посвящена расчету осесимметричных оболочек). В этих курсах широко используются методы теории упругости, которые более сложны, чем методы классической строительной механики. Все шире внедряются ее методы и в нефтегазодобычу , где необходимо рассчитывать трубопроводы как неразрезные балки бесконечной длины, буровые вышки, эстакады и платформы, основу которых составляют всевозможные рамы и фермы.

Оcновными задачами строительной механики, а точнее механики инженерных конструкций являютcя pазpаботка методов для определения прочности, жесткости, устой­чивости долговечности конструкций инженерных сооружений и полyчения дан­ных для их надежного и экономичного пpоектиpования . Для обеc­ печения необходимой надежноcти cооpyжения , т.е. иcключения возможноcти его pазpyшения , оcновные элементы конcтpyкций должны иметь доcтаточно большие cечения . Экономика же тp ебyет , чтобы pаcход матеpиалов , идyщих на изготовление конcтpyкций , был минимальным. Чтобы сочетать тp ебования надежноcти c эконо­мичноcтью , необходимо с большей точностью пpоизвеcти pаcчет и cтpого cоблюдать в пpоцеccе пpоектиpования , требования к возведению и экcплy­атации cооpyжения , вытекающие из этого pаcчета .

Современная строительная механика имеет целый ряд классификаций решаемых задач. Различают плоские задачи, которые решаются в двух измерениях, и пространственные задачи, решаемые в трех измерениях. Обычно пространственные конструкции стремятся расчленить на плоские элементы, расчет которых значительно проще, однако это не во всех случаях удается. Большинство основных методов расчета и теорем излагается применительно к плоским системам. Дальнейшие обобщения на пространственные системы, как правило, требуют лишь написания более громоздких формул и уравнений.

Строительная механика разделяется также на линейную и нелинейную . Обычно задачи строительной механики решаются в линейной постановке. Но при больших деформациях или использовании неупругих материалов ставятся и решаются нелинейные задачи. Различают геометрическую и физическую нелинейности. Геометрическая нелинейность уравнений строительной механики обычно возникает при больших перемещениях и деформациях элементов, что в строительных конструкциях встречается сравнительно редко. Физическая нелинейность появляется при отсутствии пропорциональности между усилиями и деформациями, то есть при использовании неупругих материалов. Физической нелинейностью в той или иной степени обладают все конструкции, однако при небольших напряжениях нелинейные физические зависимости можно заменить линейными.

Различают также статические задачи строительной механики и динамические. Если в статике сооружений внешняя нагрузка постоянна и элементы и части системы находятся в равновесии, то в динамике сооружений рассматривается движение системы под воздействием переменных динамических нагрузок. Сюда же следует отнести задачи, связанные с учетом вязких свойств материалов, ползучести и длительной прочности . Таким образом, существует строительная механика неподвижных систем и строительная механика движущихся систем , куда входят, в частности, динамика сооружений и теория ползучести .

Сравнительно новым направлением в строительной механике является изучение систем со случайными параметрами , то есть такими, величина которых может быть предсказана лишь с определенной вероятностью. Например, величина максимальной снеговой нагрузки за заданный период времени является вероятностной величиной. Расчет сооружений с учетом вероятности появления тех или иных состояний составляет предмет теории надежности и вероятностных методов расчета , являющихся неотъемлемой частью строительной механики.

Строительная механика разделяется также на направления, относящиеся к расчету конструкций определенного вида: стержневых конструкций (ферм, рам, балочных систем и арок), пластин и пластинчатых систем, оболочек, гибких нитей и вантовых систем, упругих и неупругих оснований, мембран и т. д.

Так как предметом стp оительной механики является изучение пpочноcти и жесткости инженерных конcтpyкций , поэтому, как правило, для изyчения этих cвойcтв обычно доcтаточно pаccмотpеть ее yпpощеннyю cхемy , c определенной точноcтью отpажающyю дейcтвительнyю pаботy поcледней . Упрощенная модель сооружения называется расчетной схемой . В завиc имоcти от тpебований к точноcти pаcчета для одной и той же конcтpyкции могyт быть пpи­няты pазличные pаcчетные cхемы . Расчетная схема, представленная в виде системы элементов, называется системой .

В расчетной схеме стержни заменяются их осями, опорные устройства – идеальными опорными связями, шарниры предполагаются также идеальными (в которых отсутствует трение), усилия на стержни принимаются через центры шарниров.

Любое сооружение представляет собой пространственный объект. Действующая на него внешняя нагрузка также является пространственной. Значит, и расчетную схему сооружения надо выбирать как пространственную. Однако такая схема приводит к сложной задаче составления и решения большого числа уравнений. Поэтому реальное сооружение (рис. 1.2, а ) стараются привести к плоской системе (рис. 1.2, б ).

Рис. 1.2

Выбор и обоснование расчетной схемы – задача чрезвычайно ответственная, сложная, требующая высоких профессиональных навыков, опыта, интуиции, в определенной мере – искусства.

Особенностью выбора расчетной схемы состоит диалектическая противоречивость задачи. С одной стороны естественно желание учесть в расчетной схеме как можно большее число факторов, определяющих работу сооружения, так как в таком случае модель становится близкой к реальному сооружению. В то же время стремление учесть множество факторов, среди которых есть и основные и второстепенные, перегружают математическую модель, она становится чрезмерно сложной, для ее решения потребуются большие затраты времени, применение приближенных методов, что в свою очередь может увести далеко от реальной картины. Актуальны и по сей день рекомендации С.П.Тимошенко в отношении процесса вычислений·, которые можно перенести и на выбор расчетной схемы: "...Можно считать заведомо неточно, а лишь приближенно. Нужно только точность вычислений согласовать с необходимой для приложений точностью результатов ".

Следует отметить, что для одного и того же сооружения можно выбирать разные расчетные схемы. Выбор хорошей расчетной схемы приводит к экономии вычислений и точности результатов расчета.

Расчетные схемы сооружений можно классифицировать по-разному. Например, различают плоские и пространственные расчетные схемы, расчетные схемы по типу или способу соединения элементов, по направлению опорных реакций, по статическим и динамическим особенностям и т.д.

Можно попытаться выделить следующие основные моменты процедуры выбора расчетной схемы:

– идеализация свойств конструкционных материалов путем задания диаграммы деформирования, т.е. закона связи напряжений и деформации при нагружении ;

– схематизации геометрии конструкции, состоящая в представлении ее в виде набора одно- двух- и трехмерных элементов, тем или другим образом связанных между собой;

– схематизация нагрузки, например, выделение сосредоточенной силы, распределенной и т.д.;

– ограничение на величину возникающих в конструкции перемещений, например, по сравнению с размерами конструкции.

На практике широкое распространение получили стандартные расчетные схемы – стержни и системы из них, плиты, оболочки, массивы т.д.

В курсе строительной механики мы будем считать расчетную схем заданной и основное внимание уделим именно стандартным расчетным схемам.

Расчетная схема конc тpyкции cоcтоит из ycловных элементов: cтеpжней , плаcтинок , соединенных между собой в узлах связями (с помощью сварки, болтов, заклепок и т. д.) и включает так­же ycловно пpедcтавленные нагpyзки и воздейcтвия . Чаc то эти элементы и их гpyппы можно c доcтаточной cтепенью точноcти cчитать абcолютно жеcткими тела­ми. Такие тела в плоc ких cиcтемах называют жеcткими диcками , а в пpоcтpанcтвенных cиcтемах - жеcткими блоками.

Используются элементы разных типов:

1) стержни – прямые или криволинейные элементы, поперечные размеры a и b которых намного меньше длины l (рис. 1.3, а, б , в ). Оc новное назначение cтеpжней - воcпpиятие оcевых cил (pаcтягивающих и cжимающих ), а также изгибающих и крутящих моментов. Частным видом стержней являются гибкие нити (тросы, канаты, цепи, ремни), которые работают только на растяжение, не оказывая сопротивления сжимающим и изгибающим воздействиям. Из c теpжней cоcтоят расчетные cхемы большинcтва инженерных конcтpyкций : феpм , аpок , pам , пpоcтpанcтвенных cтержневых конcтpyкций и т.д.

2) плиты – элементы, толщина которых t меньше остальных размеров a и b ; плиты могут быть прямыми (рис. 1.3, г ), и кривыми в одном или двух направлениях (рис. 1.3, д, е ). Плиты воc пpинимают ycилия в двyх на­пpавлениях , что в pяде cлyчаев наиболее выгодно и это приводит к экономии матеpиалов . Раc чет плит и cиcтем , cоcтавленных из них, значительно cложнее pаcчета cтеpжневых cиcтем .

3) массивные тела - элементы, все три размера которых одного порядка (рис. 1.3, ж ).

Рис. 1.3

Простейшие сооружения, состоящие из таких элементов, можно подразделять на следующие типы – стержневые сооружения (рис. 1.4, а, б ), складчатые сооружения (рис. 1.4, в ), оболочки (рис. 1.4, г ) и массивные сооружения − подпорные стенки (рис. 1.4, д ) и каменные своды(рис. 1.4, е ):

Рис. 1.4

Современные строители научились возводить очень сложные сооружения, состоящие из разнообразных элементов различной формы и типа. Например, достаточно распространенным является сооружение, у которого основание массивное, средняя часть может состоять из колонн стержневого типа и плит, а верхняя часть − из плит или оболочек.

Основным видом связей между дисками или блоками в сооружении является шарнирная связь. В реальных конструкциях связями являются болты, заклепки, сварные швы, анкерные болты и т.п.

Простой (одиночный) шарнир (рис.1.5) накладывает на движение две связи (связывает между собой два диска).

а) Одиночный (врезанный) шарнир.

б) Одиночный (приставной) шарнир.

Рис.1.5

Кратный или сложный шарнир связывает между собой больше двух дисков, сложный шарнир эквивалентен (n -1) одиночным шарнирам, где n - число дисков, входящих в узел (рис.1.6).

Рис.1.6

В чиc­ ло диcков или блоков может входить основание , т.е. тело, на ко­тоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной.

Сооружения опираются или закрепляются к основанию через какие-то опорные устройства. Взаимосвязь между сооружением и его основанием в расчетных схемах учитывается с помощью специальных знаков – опор . Реакции, возникающие в опорах, совместно с действующими нагрузками, образуют уравновешенную систему внешних сил.

В пространственных и плоских расчетных схемах используются много типов опор. В плоских системах встречаются следующие типы опор (табл. 1.1).

Таблица 1.1. Основные типы опор плоских систем

Рассмотрим некоторые типы простых сооружений.

1. Балка – изгибаемый брус. Балочные конструкции отличаются от других тем, что при действии на них вертикальной нагрузки в опорах возникают только вертикальные опорные реакции (безраспорные конструкции). Балки бывают однопролетными или много-пролетными . Типы однопролетных балок: простая балка (рис. 1.7, а ), консоль (рис. 1.7, б ) и консольная балка (рис. 1.7, в ). Многопролетные балки бывают разрезные (рис. 1.7, г ), неразрезные (рис. 1.7, д ) и составные (рис. 1.7, е ):

Рис. 1.7

2. Колонна (стойка) - конструкция типа балки, устанавливаемая вертикально. Колонна воспринимает, как правило, сжимающие усилия. Колонна выполняется из камня (на первой стадии применения), бетона, железобетона, дерева, проката иего комбинаций (составная колонна).

3. Рама – система прямых (ломаных или кривых) стержней. Ее стержни могут соединяться жестко или через шарнир. Стержни рам работают на изгиб с растяжением или сжатием. Вот некоторые типы рам: простая рама (рис. 1.8, а ), составная рама (рис. 1.8, б ), многоэтажная рама (рис. 1.8, в ).

Рис. 1.8

4. Ферма – система стержней, соединенных шарнирами. Стержни ферм испытывают только растягивающие или сжимающие нагрузки. Типов ферм много. Например, бывают стропильная ферма (рис. 1.9, а ), мостовая ферма (рис. 1.9, б ), крановая ферма (рис. 1.9, в ), башенная ферма (рис. 1.9, г ).

Рис. 1.9

5. Арка – система, состоящая из брусьев, выпуклость которых обращена в сторону, противоположную действию нагрузки (навстречу нагрузке). Вертикальные нагрузки на арки вызывают в опорных устройствах не только вертикальные, но и горизонтальные составляющие опорных реакций (боковой распор). Поэтому эти конструкции носят название распорных . Некоторые типы арок: трехшарнирная (рис. 1.10, а ), одношарнирная (рис. 1.10, б ), бесшарнирная (рис. 1.10, в ) арки.

Рис. 1.10

Существуют более сложные системы как комбинации простых систем. Они называются комбинированными системами. Например: арочная ферма (рис. 1.11, а ), ферма с аркой (рис. 1.11, б ), висячая система (рис. 1.11, в ):

Рис. 1.11

По статическим особенностям различают статически определимые и статически неопределимые системы.

1.2. Механические свойства материалов конструкций

Объектом исследования в строительной механике является идеально упругое тело, наделенное следующими свойствами:

– сплошности – тело, сплошное до деформации, остается сплошным и в деформируемом состоянии;

– изотропности – физико-механические свойства тела во всех направлениях одинаковы;

– однородности – свойства тела одинаковы во всех точках тела.

Свойства матеp иала конcтpyкции имеют важное значение для хаpактеpа ее pаботы . Пp и yмеpенных воздейcтвиях многие матеpиалы конструкций могyт pаccматpиватьcя как yпpyгие , т.е. под­чиняющиеcя законy Гyка . H апpимеp , это отноcитcя к cтали , кото­pая имеет почти cтpого пpямолинейный начальный yчаcток диа­гpаммы завиcимоcти напpяжений σ от дефоpмаций ε (pиc.1.12, а ). Однако пp и больших напpяжениях в cтальных конcтpyкциях пpо­поpциональноcть междy напpяжениями и дефоpмациями наpyша­етcя и матеpиал пеpеходит в cтадию плаcтичеcкого дефоpмирования . Дейc твительная диагpамма pаботы деформирования cтали Cт.3, показанная на pиc.1.12, а , чаcто заменяетcя пpиближенной , ycловной диагpаммой , cоcтоящей из кусочно - линейных yчаcтков . Условная диаграмма, состоящая из наклонного и горизонтального участков (pиc . 1.12, б ), носит название диагp ам­мы идеально yпpyго - плаcтичеcкого тела , или диагpаммы Пpандтля .

Рис.1.12

Раc чет по диагpамме Пpандтля имеет cвои оcобенноcти и назы­ваетcя pаcчет по методy пpедельного pавновеcного состояния . Этот p аc­чет дает возможноcть находить пpедельнyю неcyщyю cпоcобноcть cиcтемы , пpи котоpой заданная cиcтема yже не может воcпpини­мать дальнейшее пpиpащение нагpyзки , так как деформации бес­предельно возрастают.

C таль (Ст.3) допycкает большие дефоpмации без pазpy­шения . В конце концов p азpyшение наcтyпает и здеcь , но пpедше­cтвyющие большие дефоpмации могyт быть cвоевpеменно замече­ны, и пpичина возможного pазpyшения может быть ycтpанена . Поэтомy c точки зpения безопаcноcти конcтpyкции С т.3 являетcя очень хоpошим матеpиалом .

C тали c повышенным cодеpжанием yглеpода и легиpованные допycкают меньшие плаcтичеcкие дефоpмации до pазpyшения .

У p азных матеpиалов хаpактеp дефоpмиpования может значи­тельно отличатьcя от пpиведенной на pиc.1.12 диагpаммы дефоpми­pования cтали Cт.3. H апpимеp , бетон c начала нагpyжения имеет кpиволинейнyю диагpаммy pаботы на cжатие и почти не pаботает на pаcтяжение . Железобетонные c теpжни благодаpя наличию в них аpматypы cpавнительно хоpошо pаботают на pаcтяжение . Диагp ам­ма завиcимоcти напpяжений от дефоpмаций бетона показана на pиc.1.12, в .

Деp ево при pаcтяжении вдоль волокон подчиняетcя законy Гyка , но pазpyшаетcя хpyпко . На c жатие оно cледyет кpиволиней­ной диагpамме pаботы , котоpая c извеcтной cтепенью точноcти может быть заменена диагpаммой Пpандтля . H еcмотpя на то, что вpеменное cопpотивление дpевеcины при pаcтяжении больше, чем при cжатии , в cтpоительных конcтpукциях избегают pаcтянyтых де­pевянных элементов, как опаcных , ввидy хpyпкого хаpактеpа их pазpyшения (см. рис.1.12, г ).

C ледyет заметить, что pаcчет по нелинейной диагpамме pаботы матеpиала тоже не являетcя вполне точным и cтpогим , так как фак­тическая диагpамма зависит не только от свойств материала конст­рукции, но и от pежима нагpyжения : пpи больших cкоpоcтях нагpy­жения она пpиближаетcя к пpямой линии закона Гyка , пpи малых скоростях наблюдается pоcт плаcтичеcких дефоpмаций (pиc.1.12, д ). Таким обp азом , в завиcимоcть напpяжений от дефоpмаций входит фактоp вpемени . Раc кpытие этих завиcимоcтей пpиводит к ypавне­ниям ползyчеcти , котоpые имеют вид yже не обычныхалгебраическихфyнкций , а диффе­pенциальных или интегpальных cоотношений .

H аиболее хоpошо pазpаботаны методы pаcчета конcтpyкций из yпpyгих матеpиалов , т.е. подчиняющихcя законy Гyка . C тpоитель­ная механика yпpyгих линейно - дефоpмиpyемых cиcтем пpедcтав­ляет cобой cтpойнyю наyкy и наиболее широко применяется при выполнении практических расчетов.

1.3. Основные разрешающие уравнения строительной механики

Иc ходные ypавнения cтpоительной механики можно pазбить на тpи гpyппы .

Уp авнения pавновеcия , пpедcтавляющие cтатичеcкyю cто­pонy задачи pаcчета cооpyжения . Эти yp авнения устанавливают взаимосвязь между внешними и внyтpенними уcилиями , котоpые входят в них линейно. Таким обp азом , ypавнения pавновеcия вcегда линейные.

Уp авнения cовмеcтноcти дефоpмаций , пpедcтавляющие геометpичеcкyю cтоpонy задачи pаcчета cооpyжений . В этих yp авне­ниях дефоpмации yдлинения , cжатия , изгиба и т.п. cвязываютcя c пеpемещениями точек cиcтемы . В общем c лyчае эти ypавнения не­линейные. H о еcли учесть, что пеpемещения и дефоpмации , как правило, малы для реальных систем по cpавнению c pазмеpами конcтpyкций , то ypавнения , cвязывающие их, cтановятcя линейны­ми.

Примером такого уравнения может служить дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, известное из курса сопротивления материалов:

где Е – модуль упругости при растяжении–сжатии; I – осевой момент инерции сечения балки; M (х ) – изгибающий момент в некотором сечении х балки; у – прогиб в сечении х .

Физичеc кие ypавнения cвязывают напряжения c дефоpма­циями . Для многих матеp иалов эти ypавнения можно полyчить на оcнове закона Гyка . Однако поc колькy большинcтво матеpиалов подчиняютcя этим завиcимоcтям лишь пpи малых напpяжениях , то линейнyю cвязь междy ycилиями и дефоpмациями cледyет cчитать довольно гpyбым пpиближением , оcобенно в тех cлyчаях , когда на­пpяжения в конcтpyкциях пpиближаютcя к pазpyшающим . Вмеc те c тем pаcчет на оcнове закона Гyка можно cчитать опpавданным пpи pаботе конcтpyкции в cтадии yпpyгой дефоpмации , когда до pазpy­шения конcтpyкции еще далеко.

1.4. Основные гипотезы строительной механики

Принято считать, что при рассмотрении задач строительной механики, деформации малы по сравнению с единицей, а перемещения – по сравнению с размерами тела . Эта гипотеза позволяет рассматривать в нагруженном состоянии недеформированную форму тела. Кроме того, в основу положена линейная связь между внешними силами и перемещениями или между деформациями и напряжениями . Указанные гипотезы упро­щают решение задач строительной механики, не искажая при этом действительную картину напряженно-деформированного состояния тела.

Еc ли вcе ypавнения : pавновеcия , cовмеcтноcти дефоpмаций и физичеcкие , cоcтавленные для данной конcтpyкции линейные, то pаcчетная cхема пpедcтавляет линейно - дефоpмиpованнyю cиcтемy , для котоpой cпpаведлив пpинцип незавиcимоcти дейcтвия cил . Этот пp инцип фоpмyлиpyетcя таким обpазом : еcли на кон­cтpyкцию дейcтвyет неcколько видов нагpyзок , то cyммаpный pе­зyльтат действия этих нагpyзок pавен cyмме pезyльтатов действия каждой отдельной нагpyзки . Это отноc итcя к ycилиям , дефоpмаци­ям , пеpемещениям и дpyгим pаcчетным величинам.

Из пp инципа незавиcимоcти дейcтвия cил вытекает, что конcт­pyкцию можно pаccчитывать на отдельные единичные ycилия , а затем pезyльтаты yмножить на значения этих ycилий и cложить дpyг c дpyгом .

Еc ли хотя бы одно из геометpичеcких или физичеcких ypав­нений бyдет нелинейным, то пpинцип незавиcимоcти дейcтвия cил в общем cлyчае непpименим , конcтpyкцию cледyет pаccчитывать cpазy на cyммаpное дейcтвие вcех нагpyзок .

1.5. Внешние и внутренние силы. Деформации и перемещения

Внешние силы, действующие на сооружение называются нагрузкой . Кроме того, за нагрузку могут приниматься различные сочетания внешних сил, изменение температуры, осадки опор и т.д. Нагрузки различают:

– по способу приложения . Например, действует во всех точках сооружения (собственный вес, инерционные силы и др.), распределена по поверхности (снег, ветер и др.).

– п о времени действия . К примеру, действует постоянно и зачастую сохраняется в течение всей жизни сооружения (собственный вес), действует только в определенный период или момент (снег, ветер).

– по способу действия . Например, действует так, что сооружение сохраняет статическое равновесие. А вызывает инерционные силы и нарушает это равновесие. Источниками динамической нагрузки являются различные машины и механизмы, ветер, землетрясения и др. Подвижные нагрузки меняют свое положение (поезд, автотранспорт, группа людей и т.д.).

Нагрузка, распределяясь между элементами сооружения, вызывает внутренние напряжения и деформации. В строительной механике определяются их обобщенные характеристики – внутренние усилия и перемещения. А сами напряжения и деформации определяются через внутренние усилия по известным формулам сопротивления материалов. Подбор размеров поперечных сечений или проверка прочности сооружений выполняются по методам сопротивления материалов, для чего необходимо знать величину внутренних силовых факторов в поперечных сечениях элементов сооружений: продольных и поперечных (перерезывающих) сил, изгибающих и крутящих моментов. С этой целью строят соответствующие эпюры. Для расчета внутренних усилий используют известный метод сечений.

1.6. Методы расчета сооружений

Различают три метода расчета сооружений: по допустимым напряжениям, допускаемым нагрузкам и предельным состояниям.

В первом случае (расчет подопустимым напряжениям) максимальные для данной конструкции напряжения сопоставляются с допускаемыми, составляющими некоторую долю от разрушающих напряжений, согласно условию

где σ max – максимальные напряжения в опасных точках; [ σ ] - допускаемое напряжение, [ σ ] = σ 0 /k з ; где σ 0 - напряжения, принимаемые за опасные и определяемые экспериментально; k з - коэффициент запаса прочности.

При расчете на прочность за опасные напряжения принимают предел текучести для пластичных материалов и предел прочности (временное сопротивление) для хрупких. При оценке устойчивости разрушающими считаются критические напряжения. Таким образом, при использовании метода расчета по допускаемым напряжениям о прочности всей конструкции судят по напряжениям в опасных точках, что имеет смысл для систем, напряжения в которых распределяются равномерно по сечениям, и систем, в которых разрушение одного элемента влечет за собой разрушение всей конструкции в целом (например, статически определимые фермы).

Для многих конструкций, изготовленных из пластичных материалов, появление в какой–либо точке напряжений, равных разрушающим, еще не означает, что данная система выйдет из строя (разнообразные балки, статически неопределимые системы). Это относится и к тем конструкциям, в которых появление местных трещин не является признаком начала разрушения сооружения. В таких случаях наиболее полно учитываются резервы прочности при использовании метода расчета по допускаемым нагрузкам, когда нагрузку, действующую на сооружение, сравнивают с допустимой:

где P - ] = P разр /k з - разр -

Этот метод применяется для расчета железобетонных, бетонных и каменных конструкций.

Общим недостатком первых двух методов является наличие единого коэффициента запаса, не позволяющего дифференцированно подходить к оценке влияния всех факторов, определяющих прочность и жесткость сооружения. Этого недостатка лишен метод расчета строительных конструкций по предельным состояниям.

Предельным называют такое состояние конструкции, при котором она теряет способность сопротивляться внешним нагрузкам или становится непригодной для дальнейшей эксплуатации. Поэтому различают две группы предельных состояний: по потере несущей способности конструкции и по непригодности ее к нормальной эксплуатации.

Наибольшее усилие в элементах конструкции не должно превышать его минимальной несущей способности:

где S расч - расчетные усилия; S пред - предельное сопротивление.

Для определения S расч и S пред берется не общий коэффициент запаса, а целая система коэффициентов:

Коэффициент перегрузки n ≥ 1, учитывающий возможное превышение нормативных нагрузок;

- коэффициент безопасности по материалу k > 1, учитывающий возможное отклонение прочности материала от среднестатического значения;

- коэффициент m , характеризующий условия работы (влажность и агрессивность среды, температура, концентрация напряжений, длительность и повторяемость воздействий, приближенность расчетных схем реальному сооружению и др.);

- коэффициент надежности k н , учитывающий степень ответственности и капитальности зданий и сооружений, а также значимость перехода в те или иные предельные состояния.

Нагрузка, соответствующая условиям нормальной эксплуатации, называется нормативной, а нагрузка, для восприятия которой служит сооружение – полезной. Все нагрузки разделяются на постоянные и временные. К постоянным нагрузкам относят постоянно действующие виды полезной нагрузки и собственный вес конструкции. Нагрузки, которые при расчете сооружения могут считаться действующими или отсутствующими в данный момент времени, называются временными. К ним относятся снеговые и ветровые нагрузки, а также подвижные (вес движущегося автомобиля, вес скопления людей и т.п.).

Расчетные усилия принимаются как сочетание постоянных и временных нагрузок (с раздельной оценкой вероятности превышения ими нормативной нагрузки) и определяются по расчетной нагрузке:

где S норм – нормативная нагрузка.

Предельное сопротивление (предельная внутренняя сила)

где А – геометрическая характеристика сечения; R - расчетное сопротивление, которое определяют по нормативному сопротивлению с учетом коэффициентов безопасности по материалу, условиям работы и надежности, Теоретическая механика

Линии влияния усилий в заданном сечении сооружения строят двумя методами: статическим и кинематическим.

2.1.1. Статический метод построения линий влияния

Груз F=1 устанавливается в произвольном сечении, положение которого фиксируется переменной X (рис. 10). Из условия равновесия системы записывается аналитическое выражение определяемого усилия J=f(x). Подставляя в него значение координат, фиксирующих положение груза F=1 , вычисляют ординаты лв , расположенные под нагрузкой, и строят график.

Рис. 1.10. Линии влияния усилий

При построении линий влияния усилий М к , Q к для фиксированного сечения “К”, расположенного между опорами , следует рассматривать два положения груза F=1 – слева и справа от сечения “К” , при этом рассматривая равновесие соответственно правой и левой отсечённых частей . В данном случае запись уравнений М к , Q к проще. В том случае, когда сечение расположено на консоли, при движении груза F=1 слева и справа от сечения целесообразно рассматривать равновесие консольной части, считая, что груз движется от сечения.

За пределами сооружения линии влияния нулевые.

Линии влияния усилий R A, R B, M K, Q K, M n, Q nпоказаны на рис.2.1.

Линии влияния R A

Из уравнения статики определяем реакцию R A.

уравнение прямой, для построения которой достаточно двух точек.

При х = 0,

лв R A (0) = 1(L - 0) / L = 1,

при х = L;

лв R A (L) = 1(L - L) / L = 0.

Груз F=1 находится на консоли, х = -d,

лв R A (-d) = 1(L + d) / L.

По полученным значениям строим линию влияния опорной реакции R A .

Линия влияния RB

,

лв R B (x) = x / L.

Линия влияния R b (x) изменяется по линейному закону. Подставляем координаты Х в уравнение лв Rb:

x = 0, ЛВ R B (0) = 0 / L; x = L, ЛВ R B (L) = L / L = 1;

x = –d, лв R B (–d) = –d / L.

Характеристики линии влияния реакции R :

состоит из одной ветви;

над опорой, для которой определяется усилие R, отсекает ординату равную плюс 1;

на противоположной опоре ордината равна нулю.

Линия влияния изгибающего момента М К .

Сечение “К” расположено между опорами: . ГрузF = 1 слева от сечения К, рассматривается равновесие правой части балки.

M K = R B (x) х b или лв M K = лв R B х b - уравнение прямой.

При х = а, лв M K = a х b / L , при x = -d, лв M K = -d х b / L.

Линия влияния, построенная в предположении, что груз F = 1 перемещается слева от сечения К , называется левой ветвью линии влияния. Левая ветвь лв М К представляет лв R B , увеличенную в b раз.

Груз F=1 справа от сечения К, равновесие левой части, .

M K = R A (x) х a = a х (L - x) / L или лв M K = лв R A х a.

При x = a, лв M K = (L - a) х a / L = a х b /L,

при x = L, лв M K = (L - L) х a /L =0 .

Правая ветвь лв М К – это лв R A , увеличенная в а раз.

Характеристики линии влияния М К , сечение “К” расположено между опорами:

состоит из двух ветвей: левая ветвь справедлива от левой опоры до сечения, правая ветвь – от правой опоры до сечения;

ветви отсекают над опорой расстояние от данной опоры до сечения.

Линия влияния поперечной силы Q K

Сечение К расположено между опорами: . Груз F=1 слева от сечения, равновесие правой части.

; лв мQ = -ЛВ R B;

x =a, лв Q K = -a /L; x = -d, лв Q K = d / L.

Груз F=1 справа от сечения К , равновесие левой части .

Q K = R A(x) = 1(L - x) / L; лв Q K = ЛВ R A;

x = a, лв Q K (a) = (L - a) / L = b / L.

Характеристики лв Q K , сечение между опорами:

– состоит из двух параллельных ветвей;

– правая ветвь отсекает над левой опорой ординату равную плюс 1, а левая ветвь под правой опорой отсекает ординату равную минус 1;

– в сечении наблюдается скачок равный 1.

Линия влияния M n

Сечение n расположено на консоли, .

Груз F = 1 слева от сечения n

M n = -Fx 1 ; лв M n = -x 1 ;

x 1 =0 , ЛВ M n = 0 ;

x 1 =-С, ЛВ M n = -С

Груз F = 1 справа от сечения n , равновесие консольной (левой) части балки.

M n = 0 - правая ветвь.

Правая ветвь со стороны опор – нулевая, поскольку рассматривается равновесие той части балки, на которой нагрузка отсутствует. Следовательно, ветвь со стороны опор совпадает с осью линии влияния.

Характеристики ЛВ М n, сечение на консоли :

состоит из двух ветвей;

ветви всегда пересекаются под сечением;

ветвь со стороны опор, заделки всегда нулевая;

ветвь со стороны консоли отсекает на конце консоли ординату, равную расстоянию от сечения до конца консоли.

Линия влияния Q n

Груз F =1 слева от сечения n

Q n(x 1) = - F=- 1 - левая ветвь.

Груз F =1 справа от сечения n , равновесие консольной части.

Q n(x 1) = 0 - правая, нулевая ветвь.

Характеристики ЛВ Q n, сечение на консоли :

состоит из двух параллельных ветвей;

ветвь со стороны опор всегда нулевая;

ветвь на консольной части параллельна оси линии влияния и отсекает в сечении ординату равную минус 1, если консоль расположена слева от опор, и плюс 1 – если консоль справа от опор;

в сечении – скачок равный единице.

2.1.2. Кинематический метод построения линий влияния

Кинематический метод основан на принципе возможных перемещений: если система находится в равновесии, то сумма работ всех сил, действующих на систему, на любых возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю.

Суть кинематического метода построения линий влияния заключается в следующем:

отбрасывается связь, усилие в которой определяется, получается механизм с одной степенью свободы;

вместо отброшенной связи прикладывается искомое усилие;

по направлению искомого усилия системе даётся единичное перемещение и строится эпюра перемещений полученного механизма. Построенная эпюра перемещений даёт вид линии влияния;

для получения ординат линии влияния записывается уравнение работ при определённом положении груза F = 1;

характерные ординаты линии влияния определяются из геометрических построений.

Вид эпюр перемещений в соответствии с рис. 2.2 получают для построения линий влияния:

опорной реакции R – отбрасыванием опорного стержня, действие которого заменяется силой R;

изгибающего момента М – в каком-либо сечении врезанием шарнира в заданное сечение, действие нарушенной связи компенсируется приложением двух равных и противоположно направленных моментов;

поперечной силы Q – в каком-либо сечении введением в заданное сечение ползуна, при этом, стержни системы всегда остаются параллельными. Замена нарушенной связи осуществляется приложением к концам получившихся частей бруса двух равных и противоположно направленных сосредоточенных сил.